Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Definition

Mehrstufige Zufallsexperimente

Werden Zufallsexperimente mehrmals hintereinander oder parallel ausgeführt, so spricht man von „mehrstufigen Zufallsexperimenten“.

Beispiel: Man zieht drei Karten hintereinander oder gleichzeitig.

Zweistufige Zufallsexperimente

Werden Zufallsexperimente zweimal hintereinander oder gleichzeitig ausgeführt, so spricht man von „zweistufigen Zufallsexperimenten“. 

Wahrscheinlichkeiten 

Es gibt einige Wege, die Wahrscheinlichkeit von mehrstufigen Zufallsexperimenten zu bestimmen.

Möglichkeit 1: Alle möglichen kombinierten Ergebnisse auflisten

ANWENDUNG BEI

• Mehr als zweistufigen Zufallsexperimenten.
  
• Jedes kombinierte Endergebnis ist gleich wahrscheinlich.

Beispiele

• Unterschiedliche Gehwege
  
• Wortzusammenstellung
  
• Zahlenzusammenstellung
  

VORGEHEN

Beispiel

Eine Person läuft vom Start zum Ziel. An jedem Punkt wählt sie zufällig den oberen oder unteren Weg. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie immer den unteren Weg wählt?

Alle möglichen Wege von Start zu Ziel:

Wahrscheinlichkeit, den Weg „B-D-F“ zu nehmen:

$$P\left(\mathrm{"B-D-F"}\right)= \frac{Anzahl\ untersuchte\ Möglichkeiten}{Gesamtzanzahl\ Möglichkeiten}=\frac18=0.125=\underline{12.5 \%}$$​​

Möglichkeit 2: Tabelle erstellen

Aufgaben zu zweistufigen Zufallsexperimenten kann man oftmals mit Hilfe einer Tabelle lösen.

ANWENDUNG

• Bei zweistufigen Zufallsexperimenten.
  
• Jedes kombinierte Endergebnis ist gleich wahrscheinlich.
  

VORGEHEN

Beispiel

Es werden zwei Würfel geworfen. Die Augenzahlen der Würfel sollen kombiniert werden. Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten für Gesamtaugenzahl 4 und Gesamtaugenzahl 8.

Lösung:

Tabelle zeichnen:

• 1. Spalte: Ergebnisse vom 1. Würfelwurf
  
• 1. Zeile: Ergebnisse vom 2. Würfelwurf
  
• Zellen: Summe der Augen der beiden Würfelwürfe
  

Tabelle für die Summe der Augenzahlen von zwei Würfeln:

Kombinierte Wahrscheinlichkeiten:

• Augenzahl 8: $$w\left(8\right)=\frac{Anzahl\ der\ untersuchten\ Zellen}{Gesamte\ Anzahl\ an\ Zellen}=\underline{\frac{5}{36}}$$​
  
• Augenzahl 4:  $$w\left(4\right)=\frac{Anzahl\ der\ untersuchten\ Zellen}{Gesamte\ Anzahl\ an\ Zellen}=\frac{3}{36}=\underline{\frac{1}{12}}$$​