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Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

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Zusammenfassung

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Definition

Mehrstufige Zufallsexperimente

Werden Zufallsexperimente mehrmals hintereinander oder parallel ausgeführt, so spricht man von „mehrstufigen Zufallsexperimenten“.

Beispiel: Man zieht drei Karten hintereinander oder gleichzeitig.


Zweistufige Zufallsexperimente

Werden Zufallsexperimente zweimal hintereinander oder gleichzeitig ausgeführt, so spricht man von „zweistufigen Zufallsexperimenten“. 



Wahrscheinlichkeiten 

Es gibt einige Wege, die Wahrscheinlichkeit von mehrstufigen Zufallsexperimenten zu bestimmen.


Möglichkeit 1: Alle möglichen kombinierten Ergebnisse auflisten


ANWENDUNG BEI

  • Mehr als zweistufigen Zufallsexperimenten.
  • Jedes kombinierte Endergebnis ist gleich wahrscheinlich.


Beispiele
  • Unterschiedliche Gehwege
  • Wortzusammenstellung
  • Zahlenzusammenstellung


VORGEHEN

1.

Notiere alle Möglichkeiten.

2.

Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

Anzahl untersuchte Mo¨glichkeitenGesamtzanzahl Mo¨glichkeiten\frac{ Anzahl\ untersuchte\ Möglichkeiten}{Gesamtzanzahl\ Möglichkeiten}​​


Beispiel

Eine Person läuft vom Start zum Ziel. An jedem Punkt wählt sie zufällig den oberen oder unteren Weg. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie immer den unteren Weg wählt?


Mathematik; Regelmässigkeit des Zufalls; 1. Sek / Bez / Real; Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen


Alle möglichen Wege von Start zu Ziel:


Mathematik; Regelmässigkeit des Zufalls; 1. Sek / Bez / Real; Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen


Wahrscheinlichkeit, den Weg „B-D-F“ zu nehmen:


P("BDF")=Anzahl untersuchte Mo¨glichkeitenGesamtzanzahl Mo¨glichkeiten=18=0.125=12.5%P\left(\mathrm{"B-D-F"}\right)= \frac{Anzahl\ untersuchte\ Möglichkeiten}{Gesamtzanzahl\ Möglichkeiten}=\frac18=0.125=\underline{12.5 \%}​​


Möglichkeit 2: Tabelle erstellen

Aufgaben zu zweistufigen Zufallsexperimenten kann man oftmals mit Hilfe einer Tabelle lösen.


ANWENDUNG

  • Bei zweistufigen Zufallsexperimenten.
  • Jedes kombinierte Endergebnis ist gleich wahrscheinlich.


VORGEHEN

1.

Tabelle zeichnen:

  • 1. Spalte: Ergebnisse vom 1. Zufallsexperiment
  • 1. Zeile: Ergebnisse vom 2. Zufallsexperiment
  • Zellen: Kombination der Ergebnisse des 1. und 2. Zufallsexperiments

2.

Wahrscheinlichkeiten berechnen:

Die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Zellen ist gleich.

Wahrscheinlichkeit einer Zelle:

1Gesamte Anzahl an Zellen\frac{1}{Gesamte\ Anzahl\ an\ Zellen}​​

Wahrscheinlichkeit mehrerer Zellen:

Anzahl der untersuchten ZellenGesamte Anzahl an Zellen\frac{Anzahl\ der\ untersuchten\ Zellen}{Gesamte\ Anzahl\ an\ Zellen}​​


Beispiel

Es werden zwei Würfel geworfen. Die Augenzahlen der Würfel sollen kombiniert werden. Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten für Gesamtaugenzahl 4 und Gesamtaugenzahl 8.


Lösung:

Tabelle zeichnen:

  • 1. Spalte: Ergebnisse vom 1. Würfelwurf
  • 1. Zeile: Ergebnisse vom 2. Würfelwurf
  • Zellen: Summe der Augen der beiden Würfelwürfe

Tabelle für die Summe der Augenzahlen von zwei Würfeln:


Mathematik; Regelmässigkeit des Zufalls; 1. Sek / Bez / Real; Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen


Kombinierte Wahrscheinlichkeiten:

  • Augenzahl 8: w(8)=Anzahl der untersuchten ZellenGesamte Anzahl an Zellen=536w\left(8\right)=\frac{Anzahl\ der\ untersuchten\ Zellen}{Gesamte\ Anzahl\ an\ Zellen}=\underline{\frac{5}{36}}
  • Augenzahl 4:  w(4)=Anzahl der untersuchten ZellenGesamte Anzahl an Zellen=336=112w\left(4\right)=\frac{Anzahl\ der\ untersuchten\ Zellen}{Gesamte\ Anzahl\ an\ Zellen}=\frac{3}{36}=\underline{\frac{1}{12}}



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein mehrstufiges Zufallsereigniss?

Was ist ein zweistufiges Zufallsereigniss?

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