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Kapitelübersicht

Lernziele

Mathematik

Variablen: Strichrechnung & Punktrechnung

Mathe_Sek-Gymi_02TE_01_Allgemein_02_Variablen Rechenregeln 0

Mathe_Sek-Gymi_02TE_01_Allgemein_02_Variablen Rechenregeln 1

Dein Fortschritt in der Lektion

Zusammenfassung

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Variablen: Strichrechnung & Punktrechnung

Strichrechnung

Addieren und Subtrahieren

Folgende Voraussetzungen müssen erfüllt sein, um Variablen zu addieren / subtrahieren.

VORAUSSETZUNGEN

1.	Gleiche Variablen: $a$ und $a$ , nicht $a$ und $b$
2.	Gleiche Exponenten (Hochzahlen): $a^2$ und $a^2$ , nicht $a^3$ und $a^2$
3.	Gleiches Variablenpaar: $ab$ und $ba$ , nicht $ab$ und $ac$

VORGEHEN

1.	Zahlen vor den Variablen addieren / subtrahieren.
2.	Variablen und Exponenten abschreiben

Beispiele

$a+3a=\underbrace{4}_{1+3}\ a$	$3b^2+4b^2+b=7b^2+b$
$2a-6a=\underbrace{-4}_{2-6}\ a$	$5ab^2-4ab^2=ab^2$

Punktrechnung

Multiplikation und Division

Man kann eine Multiplikation oder Division wie folgt vereinfachen.

VORGEHEN

Vorfaktoren multiplizieren

Variable abschreiben und Exponenten (Hochzahlen) anpassen:

Bei « $\cdot$ » Exponenten addieren
Bei « $:$ » Exponenten subtrahieren

Beispiele

$3a\cdot2a=\underbrace{3\cdot2}_{Faktoren}\cdot\underbrace{a^{1+1}}_{Variable}=6a^2$	$9a^3∶\left(3a\right)=\underbrace{9∶3}_{Faktoren}\cdot\underbrace{a^{3-1}}_{Variable}=3a^2$
$0.5a^5\cdot7a^8=\underbrace{0.5\cdot7}_{Faktoren}\cdot\underbrace{a^{5+8}}_{Variable}=3.5a^{13}$	$\frac{12a^8}{4a^5}=\underbrace{12∶4}_{Faktoren}\cdot\underbrace{a^{8-5}}_{Variable}=3a^3$

Hinweis 1: Ein Bruchstrich steht für eine Division.

Hinweis 2: Eine Zahl oder Variable hoch Null ist immer 1: ${89}^0=1$ oder $a^0=1$

Klammern

Definition

Eine Klammer priorisiert eine Rechenoperation. Durch eine Klammer kann zum Beispiel eine Strichrechnung einer Punktrechnung vorgezogen werden.

$\underbrace{7\cdot\left(\underbrace{8+1}_{1.}\right)}_{2.}$

Klammern auflösen

Klammern mit Strichrechnung und Variablen in der Klammer kann man wie folgt auflösen:

Hinweis: Zahlen und Variablen, die in einer Klammer durch Strichrechnung getrennt werden, nennen wir hier «Elemente». Variablen mit Vorfaktor bezeichnen wir hier als ein Element.

$3\cdot\left(\underbrace{2x}_{Element}+\underbrace{7}_{Element}\right)$

KLAMMER MIT FAKTOR AUFLÖSEN

Vorfaktor mit jedem Element in der Klammer multiplizieren.

3\cdot\left(2x+7\right)=3\cdot2x+3\cdot7

\left(2x+7\right)\cdot3=3\cdot2x+3\cdot7

KLAMMER MIT DIVISOR AUFLÖSEN

Jedes Element in der Klammer durch den Divisor teilen.

$\left(12x+6\right)∶3=12x∶3+6∶3$

PLUS VOR DER KLAMMER AUFLÖSEN

Klammern direkt wegnehmen.

$8+\left(2x-7\right)=8+2x-7$

MINUS VOR DER KLAMMER AUFLÖSEN

Vorzeichen von allen Elementen in der Klammer umdrehen.

$-\left(2x-7\right)=-2x+7$

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Terme vereinfachen

Ziel es ist, den gegebenen Term so kurz wie möglich zu machen.

VORGEHEN

1.	Klammern auflösen.
2.	Variablen und Zahlen zusammenrechnen.

Beispiel

$6x-3\left(4x-9\right)+2=6x-12x+27+2=-6x+29$

Variablen: Strichrechnung & Punktrechnung

Strichrechnung

Addieren und Subtrahieren

Folgende Voraussetzungen müssen erfüllt sein, um Variablen zu addieren / subtrahieren.

VORAUSSETZUNGEN

1.	Gleiche Variablen: $a$ und $a$ , nicht $a$ und $b$
2.	Gleiche Exponenten (Hochzahlen): $a^2$ und $a^2$ , nicht $a^3$ und $a^2$
3.	Gleiches Variablenpaar: $ab$ und $ba$ , nicht $ab$ und $ac$

VORGEHEN

1.	Zahlen vor den Variablen addieren / subtrahieren.
2.	Variablen und Exponenten abschreiben

Beispiele

$a+3a=\underbrace{4}_{1+3}\ a$	$3b^2+4b^2+b=7b^2+b$
$2a-6a=\underbrace{-4}_{2-6}\ a$	$5ab^2-4ab^2=ab^2$

Punktrechnung

Multiplikation und Division

Man kann eine Multiplikation oder Division wie folgt vereinfachen.

VORGEHEN

Vorfaktoren multiplizieren

Variable abschreiben und Exponenten (Hochzahlen) anpassen:

Bei « $\cdot$ » Exponenten addieren
Bei « $:$ » Exponenten subtrahieren

Beispiele

$3a\cdot2a=\underbrace{3\cdot2}_{Faktoren}\cdot\underbrace{a^{1+1}}_{Variable}=6a^2$	$9a^3∶\left(3a\right)=\underbrace{9∶3}_{Faktoren}\cdot\underbrace{a^{3-1}}_{Variable}=3a^2$
$0.5a^5\cdot7a^8=\underbrace{0.5\cdot7}_{Faktoren}\cdot\underbrace{a^{5+8}}_{Variable}=3.5a^{13}$	$\frac{12a^8}{4a^5}=\underbrace{12∶4}_{Faktoren}\cdot\underbrace{a^{8-5}}_{Variable}=3a^3$

Hinweis 1: Ein Bruchstrich steht für eine Division.

Hinweis 2: Eine Zahl oder Variable hoch Null ist immer 1: ${89}^0=1$ oder $a^0=1$

Klammern

Definition

Eine Klammer priorisiert eine Rechenoperation. Durch eine Klammer kann zum Beispiel eine Strichrechnung einer Punktrechnung vorgezogen werden.

$\underbrace{7\cdot\left(\underbrace{8+1}_{1.}\right)}_{2.}$

Klammern auflösen

Klammern mit Strichrechnung und Variablen in der Klammer kann man wie folgt auflösen:

Hinweis: Zahlen und Variablen, die in einer Klammer durch Strichrechnung getrennt werden, nennen wir hier «Elemente». Variablen mit Vorfaktor bezeichnen wir hier als ein Element.

$3\cdot\left(\underbrace{2x}_{Element}+\underbrace{7}_{Element}\right)$

KLAMMER MIT FAKTOR AUFLÖSEN

Vorfaktor mit jedem Element in der Klammer multiplizieren.

3\cdot\left(2x+7\right)=3\cdot2x+3\cdot7

\left(2x+7\right)\cdot3=3\cdot2x+3\cdot7

KLAMMER MIT DIVISOR AUFLÖSEN

Jedes Element in der Klammer durch den Divisor teilen.

$\left(12x+6\right)∶3=12x∶3+6∶3$

PLUS VOR DER KLAMMER AUFLÖSEN

Klammern direkt wegnehmen.

$8+\left(2x-7\right)=8+2x-7$

MINUS VOR DER KLAMMER AUFLÖSEN

Vorzeichen von allen Elementen in der Klammer umdrehen.

$-\left(2x-7\right)=-2x+7$

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Terme vereinfachen

Ziel es ist, den gegebenen Term so kurz wie möglich zu machen.

VORGEHEN

1.	Klammern auflösen.
2.	Variablen und Zahlen zusammenrechnen.

Beispiel

$6x-3\left(4x-9\right)+2=6x-12x+27+2=-6x+29$

Nicht weitergekommen mit der Lektion? Dann erarbeite Dir zuerst diese Grundlage:

Variablen in Termen: Vorgehen & Rechenregeln

Zur Lektion

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

FAQs

Frage: Wann darf ich Variablen addieren/subtrahieren?

Antwort: 1. Gleiche Variablen 2. Gleiche Exponenten (Hochzahlen) 3. Gleiches Variablenpaar
Frage: Wie multipliziere ich mit Variablen?

Antwort: Zuerst werden die Vorfaktoren multipliziert. Variablen abschreib und Exponenten (Hochzahlen) addieren.
Frage: Wie teil ich mit Variablen?

Antwort: Zuerst werden die Vorfaktoren geteilt. Variablen abschreib und Exponenten (Hochzahlen) subtrahiert.
Frage: Wie Klammern mit Faktoren und Variablen auf?

Antwort: Vorfaktor mit jedem Element in der Klammer multiplizieren.
Frage: Wie teile ich Klammern mit Variablen?

Antwort: Jedes Element in der Klammer durch den Divisor teilen.
Frage: Was muss ich tun wenn ein Plus vor der Klammer ist?

Antwort: Klammern direkt wegnehmen.
Frage: Was muss ich tun, wenn ein Minus vor der Klammer ist?

Antwort: Vorzeichen von allen Elementen in der Klammer umdrehen.

Theorie

Unbegrenzte Macht

Grenzenlos lernen

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Variablen: Strichrechnung & Punktrechnung

Variablen: Strichrechnung & Punktrechnung

Strichrechnung

Addieren und Subtrahieren

VORAUSSETZUNGEN

VORGEHEN

Beispiele

Punktrechnung

Multiplikation und Division

VORGEHEN

Beispiele

Klammern

Definition

Klammern auflösen

3⋅(2x⏟Element+7⏟Element)3\cdot\left(\underbrace{2x}_{Element}+\underbrace{7}_{Element}\right)3⋅(Element2x​​+Element7​​)​​

KLAMMER MIT FAKTOR AUFLÖSEN

KLAMMER MIT DIVISOR AUFLÖSEN

PLUS VOR DER KLAMMER AUFLÖSEN

8+(2x−7)=8+2x−78+\left(2x-7\right)=8+2x-78+(2x−7)=8+2x−7​​

MINUS VOR DER KLAMMER AUFLÖSEN

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Terme vereinfachen

VORGEHEN

Beispiel

Variablen: Strichrechnung & Punktrechnung

Strichrechnung

Addieren und Subtrahieren

VORAUSSETZUNGEN

VORGEHEN

Beispiele

Punktrechnung

Multiplikation und Division

VORGEHEN

Beispiele

Klammern

Definition

Klammern auflösen

3⋅(2x⏟Element+7⏟Element)3\cdot\left(\underbrace{2x}_{Element}+\underbrace{7}_{Element}\right)3⋅(Element2x​​+Element7​​)​​

KLAMMER MIT FAKTOR AUFLÖSEN

KLAMMER MIT DIVISOR AUFLÖSEN

PLUS VOR DER KLAMMER AUFLÖSEN

8+(2x−7)=8+2x−78+\left(2x-7\right)=8+2x-78+(2x−7)=8+2x−7​​

MINUS VOR DER KLAMMER AUFLÖSEN

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Terme vereinfachen

VORGEHEN

Beispiel

Nicht weitergekommen mit der Lektion? Dann erarbeite Dir zuerst diese Grundlage:

$3\cdot\left(\underbrace{2x}_{Element}+\underbrace{7}_{Element}\right)$

$8+\left(2x-7\right)=8+2x-7$

$3\cdot\left(\underbrace{2x}_{Element}+\underbrace{7}_{Element}\right)$

$8+\left(2x-7\right)=8+2x-7$