Zufallsexperiment
Definition
Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit einem zufälligen Ausgang.
Grundbegriffe
ZUFALLSEXPERIMENT | Untersuchter Versuch |
ERGEBNIS ω | Möglicher Ausgang des Zufallsexperiments |
ERGEBNISRAUM Ω | Menge aller Ergebnisse |
EREIGNIS E | Untersuchte Teilmenge des Ergebnisraums |
EREIGNISRAUM P(Ω) | Menge aller Ereignisse |
Häufig untersucht man, ob ein Ergebnis einer Teilmenge von Ergebnissen auftritt (z.B. eine gerade Zahl würfeln). Diese Teilmenge ist ein Ereignis. Der Ereignisraum beschreibt alle möglichen Ereignisse (z.B. ungerade Zahl würfeln, eine Zahl unter 3 Würfeln, etc.). Der Ereignisraum umfasst alle möglichen Teilmengen, auch Ereignisse, die nicht eintreten können (z.B. keine Augenzahl würfeln).
Beispiel 1: Sechsseitiger Würfel
Zufallsexperiment
| Würfel werfen
|
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| | |
| Menge aller Augenzahlen | Ω={1,2,3,4,5,6} |
| Eine gerade Zahl würfeln | E={2,4,6} |
Ereignisraum P(Ω) | Menge aller Ereignisse | P(Ω)={{},{1},...,{1,2,3,4,5,6}} |
Beispiel 2: Münze
Zufallsexperiment
| Münze werfen
|
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| | ω=‘Kopf‘ |
| " Kopf" und " Zahl" werfen | Ω={‘Kopf‘,‘Zahl‘} |
| | E={‘Kopf‘} |
Ereignisraum P(Ω) | Menge aller Ereignisse | P(Ω)={{},{‘Kopf‘},{‘Zahl‘},{‘Kopf‘,‘Zahl‘} |
Zufallsvariablen
Definition
Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ereignis eines Zufallsexperiments einen reellen Wert zu.
Diskrete Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen haben endlich oder abzählbar unendlich viele mögliche Werte.
Beispiele
- Anzahl Würfe, bis eine 5 gewürfelt wird
- Anzahl Mädchen in einer Klasse
Stetige Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen können jeden reellen Wert annehmen.
Beispiel: Körpergrösse einer Person
Verteilung
Die Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Im diskreten Fall kann man die Verteilung meist in einer Tabelle darstellen.
Ergebnis
| | | ... | |
Wahrscheinlichkeit | | | ... | |
Hinweis: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten p1,p2,...pn. ist 1 (bzw. ).
Beispiel 1 - Sechsseitiger Würfel einmal Werfen und die Augenzahl beobachten
Ergebnis
| | | | | | |
Wahrscheinlichkeit | | | | | | |
Mögliches Ereignis: Eine Zahl kleiner als 4 würfeln
E=1,2,3
Beispiel 2 - Münze dreimal werfen
Ergebnis
| ZZZ
| | | | | | | |
Wahrscheinlichkeit |
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Mögliches Ereignis: Mindestens zweimal Kopf werfen
E=ZKK,KKK,KKZ,KZK
