Irrationale Zahlen als Zahlenmenge

Definition

Die Gesamtheit aller Zahlen kann in rationale und irrationale Zahlen eingeteilt werden.

Rationale Zahlen $$\mathbb{Q}$$​​

​Zahlen, die als Bruch von zwei ganzen Zahlen $$p,q$$​ darstellbar sind: $$\frac pq$$​

​Die rationalen Zahlen werden mit $$\mathbb{Q}$$ bezeichnet.​

Beispiel

• $$0,\overline{3}=0,33333...=\frac13$$ (periodisch)
  
• $$0,8=\frac 45$$ (endliche Dezimaldarstellung)

Irrationale Zahlen $$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$$​​

Zahlen, deren Dezimaldarstellung unendlich und nicht-periodisch ist.

​Die irrationalen Zahlen werden mit $$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$$​ (reelle Zahlen ohne rationale Zahlen) bezeichnet.​

Beispiel

• ​$$\pi$$​​
  
• ​$$\sqrt 2$$

Wurzeln von Primzahlen

Wurzeln von Primzahlen sind immer irrational:

• $$\sqrt 2=1,4142...$$
  
• $$\sqrt 3=1,7320...$$
  
• $$\sqrt 5=2,2360...$$
  
• ...​​​
  

Rechenregeln

Die Rechenregeln der rationalen Zahlen gelten auch für die irrationalen Zahlen.

Beachte, dass das Ergebnis einer Rechnung mit irrationalen Zahlen eine rationale Zahl sein kann.

Rechne den Term zuerst aus, bevor Du bestimmst, ob die Zahl rational ist oder nicht.

Beispiele

Rechnungen mit $$\sqrt{2}$$​  können ein rationales oder auch irrationales Ergebnis haben, obwohl $$\sqrt2$$​ irrational ist:

• Addition ergibt ein irrationales Ergebnis: $$\sqrt 2+\sqrt 2= 2,82...$$​​
  
• Subtraktion ergibt ein rationales Ergebnis: $$\sqrt 2-\sqrt2=0$$​​
• Multiplikation ergibt ein rationales Ergebnis: $$\sqrt 2\cdot\sqrt 2= 2$$​​
• Division ergibt ein rationales Ergebnis: $$\sqrt 2 : \sqrt 2 = 1$$​​

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