Brüche dienen zur Darstellung von gebrochenen Zahlen. Die obere Zahl nennt man Nenner. Die untere Zahl nennt man Zähler. Der Nenner (auch Teiler genannt) gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde. Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile gemeint sind.

Welche Rechenoperationen sollte man bei Brüchen kennen?

Zu den typischen Rechenoperationen mit Brüchen gehören: Brüche erweitern und kürzen, Brüche gleichnamig machen, Strichrechnung und Punktrechnung.

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Kapitelübersicht

Lernziele

Mathematik

Brüche

Mathe_Sek-Gymi_01RO_03_Brüche_05_Brüche kompakt 0

Mathe_Sek-Gymi_01RO_03_Brüche_05_Brüche kompakt 1

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Brüche

Definition

Brüche dienen zur Darstellung von "gebrochenen Zahlen".
Nenner (auch Teiler genannt): Gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde
Zähler: Gibt an, wie viele Teile davon in diesem Falle gemeint sind.

Brüche Erweitern und Kürzen

Beim Erweitern und Kürzen veränderst Du die Zahlen im Zähler und im Nenner um den gleichen Faktor. Das Verhältnis zwischen Zähler und Nenner bleibt dabei gleich.

Erweitern

Vergrössere Zähler und Nenner mit dem gleichen Faktor.

Der Faktor kann beliebig gewählt werden.

$\frac{3}{5}=\frac{3\cdot4}{5\cdot4}=\frac{12}{20}$

Mit Variablen:

Multipliziere Nenner und Zähler mit der gleichen Variable.

$\frac{2}{7a}=\frac{2\cdot a}{7a\cdot a}=\frac{2a}{7a^2}$

Kürzen

Verkleinere Zähler und Nenner mit dem gleichen Divisor, sodass ganze Zahlen entstehen.

$\frac{15}{20}=\frac{15∶5}{20∶5}=\frac{3}{4}$

Mit Variablen:

Streiche im Nenner und Zähler die gleiche Anzahl an Variablen.

$\frac{3a^4}{9a^2}=\frac{3\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{9\ \cdot a\cdot a}=\frac{a\cdot a}{3\cdot1}=\frac{a^2}{3}$

Beachte bei Strichrechnung im Bruch:

Nur dann kürzen, wann man einen Faktor findet, der in alle Werte im Zähler und Nenner hineinpasst.

$\frac{10+5x}{20}=\frac{5\cdot2+5\cdot x}{5\cdot4}=\frac{2+x}{4}$

Brüche gleichnamig machen

VORGEHEN

Finde die nächste grössere Zahl, die durch beide Nenner teilbar ist.

Tipp: Das Produkt aus beiden Nennern ist immer ein möglicher gemeinsamer Nenner.

Erweitere beide Brüche:

Bestimme jeweils die Vergrösserungsfaktoren für die Nenner.

Multipliziere Nenner und Zähler dem jeweiligen Faktor.

Beispiel

$\frac{3}{5}\ und\ \frac{2}{9}$	$\frac{3\cdot9}{5\cdot9}\ und\ \frac{2\cdot5}{9\cdot5}$
Die nächste gemeinsame Zahl von 5 und 9 ist 45	$\frac{27}{45}\ und\ \frac{10}{45}$

Umrechnung zwischen Bruch, Dezimal- und Prozentzahl

	VORGEHEN		Beispiel
Bruch in Dezimal	Teile Zähler durch den Nenner		$\frac{1}{5}=1∶5=\underline{0.2}$
Bruch in Prozent	1.	Teile Zähler durch den Nenner	$\frac{3}{8}=3∶8=0.375$ $0.375\cdot100\%=\underline{37.5\%}$
	2.	Multipliziere das Ergebnis mit 100 und füge ein Prozentsymbol dazu
Dezimal in Bruch	1.	Zähler: Dezimalzahl ohne Komma Nenner: Zehner mit so vielen Nullen, wie die Dezimalzahl Kommastellen hat	$0.25$ im Bruch: $\frac{25}{100}$ Gekürzt: $\frac{1}{4}$
	2.	Kürze den Bruch soweit wie möglich
Prozent in Bruch	1.	Teile die Prozentzahl durch 100	$8\%$ als Dezimalzahl: $0.08$ im Bruch: $\frac{8}{100}$ Gekürzt: $\frac{2}{25}$
	2.	Weiter wie bei Dezimalzahlen

Strichrechnung

Brüche addieren und subtrahieren

VORGEHEN

1.	Brüche gleichnamig machen.
2.	Zähler addieren / subtrahieren, Nenner beibehalten.

Beispiel

$\frac{3}{5}+\frac{2}{9}=\frac{27}{45}+\frac{10}{45}=\frac{27+10}{45}=\underline{\frac{37}{45}}$

Bruch trennen

Aus einem Bruch mit Strichrechnung im Zähler mehrere Brüche machen.

VORGEHEN

Setze alle Elemente im Zähler, die durch Strichrechnung getrennt sind, auf einen eigenen Bruch.

Diese Brüche behalten den gleichen Nenner.

Beispiel

$\frac{5+2x}{3}=\frac{5}{3}+\frac{2x}{3}$

Punktrechnung

Multiplikation von Brüchen

VORGEHEN

Zähler multiplizieren.
Nenner multiplizieren.

Beispiel: $\frac{5}{3}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5\cdot5}{3\cdot6}=\frac{25}{18}$

Achtung bei Strichrechnung auf dem Bruch:

Multipliziere bei der Strichrechnung jedes Element, welches durch Stichrechnung getrennt ist, mit dem Multiplikator.

$\frac{5}{3}\cdot\frac{5x-4}{2}=\frac{5\cdot5x-5\cdot4}{3\cdot2}=\ldots$

Multiplikation Bruch mit ganzer Zahl

VORGEHEN

1.	Forme den Faktor um zu einem Bruch mit dem Nenner 1.
2.	Multipliziere die Brüche.

Beispiel: $4\cdot\frac{12}{7}=\frac{4}{1}\cdot\frac{12}{7}=\frac{4\cdot12}{1\cdot7}=\frac{48}{7}$

Kürzen bei Multiplikation

Bei der Multiplikation von Brüchen darf man Zähler und Nenner von verschiedenen Brüchen miteinander kürzen.

VORGEHEN

Kürze den Zähler von einem Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs.

Beispiel: $\frac{14}{27}\cdot\frac{18}{49}=\frac{2\cdot7}{3\cdot9}\cdot\frac{2\cdot9}{7\cdot7}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{7}$

Die 14 und 49 jeweils mit 7 gekürzt.

Die 18 und 27 jeweils mit 9 gekürzt.

Division von Brüchen

VORGEHEN

"Kehrbruch / Kehrzahl bilden": Teilenden Bruch umdrehen (Zähler und Nenner tauschen).

Dadurch wird das Geteilt-Zeichen $(:)$ zu einem Mal-Zeichen ( $\cdot$ ) umgewandelt.

Brüche multiplizieren.

Beispiel: $\frac{10}{3}:\frac{9}{8}=\frac{10}{3}\cdot\frac{8}{9}=\frac{10\cdot8}{3\cdot9}=\frac{80}{27}$

Division Bruch durch ganze Zahl

VORGEHEN

1.	Forme den Divisor um zu einem Bruch mit dem Nenner 1.
2.	Dividiere die Brüche.

Beispiel: $\frac{2}{5}∶9=\frac{2}{5}∶\frac{9}{1}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{9}=\frac{2}{45}$

Brüche

Definition

Brüche dienen zur Darstellung von "gebrochenen Zahlen".
Nenner (auch Teiler genannt): Gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde
Zähler: Gibt an, wie viele Teile davon in diesem Falle gemeint sind.

Brüche Erweitern und Kürzen

Beim Erweitern und Kürzen veränderst Du die Zahlen im Zähler und im Nenner um den gleichen Faktor. Das Verhältnis zwischen Zähler und Nenner bleibt dabei gleich.

Erweitern

Vergrössere Zähler und Nenner mit dem gleichen Faktor.

Der Faktor kann beliebig gewählt werden.

$\frac{3}{5}=\frac{3\cdot4}{5\cdot4}=\frac{12}{20}$

Mit Variablen:

Multipliziere Nenner und Zähler mit der gleichen Variable.

$\frac{2}{7a}=\frac{2\cdot a}{7a\cdot a}=\frac{2a}{7a^2}$

Kürzen

Verkleinere Zähler und Nenner mit dem gleichen Divisor, sodass ganze Zahlen entstehen.

$\frac{15}{20}=\frac{15∶5}{20∶5}=\frac{3}{4}$

Mit Variablen:

Streiche im Nenner und Zähler die gleiche Anzahl an Variablen.

$\frac{3a^4}{9a^2}=\frac{3\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{9\ \cdot a\cdot a}=\frac{a\cdot a}{3\cdot1}=\frac{a^2}{3}$

Beachte bei Strichrechnung im Bruch:

Nur dann kürzen, wann man einen Faktor findet, der in alle Werte im Zähler und Nenner hineinpasst.

$\frac{10+5x}{20}=\frac{5\cdot2+5\cdot x}{5\cdot4}=\frac{2+x}{4}$

Brüche gleichnamig machen

VORGEHEN

Finde die nächste grössere Zahl, die durch beide Nenner teilbar ist.

Tipp: Das Produkt aus beiden Nennern ist immer ein möglicher gemeinsamer Nenner.

Erweitere beide Brüche:

Bestimme jeweils die Vergrösserungsfaktoren für die Nenner.

Multipliziere Nenner und Zähler dem jeweiligen Faktor.

Beispiel

$\frac{3}{5}\ und\ \frac{2}{9}$	$\frac{3\cdot9}{5\cdot9}\ und\ \frac{2\cdot5}{9\cdot5}$
Die nächste gemeinsame Zahl von 5 und 9 ist 45	$\frac{27}{45}\ und\ \frac{10}{45}$

Umrechnung zwischen Bruch, Dezimal- und Prozentzahl

	VORGEHEN		Beispiel
Bruch in Dezimal	Teile Zähler durch den Nenner		$\frac{1}{5}=1∶5=\underline{0.2}$
Bruch in Prozent	1.	Teile Zähler durch den Nenner	$\frac{3}{8}=3∶8=0.375$ $0.375\cdot100\%=\underline{37.5\%}$
	2.	Multipliziere das Ergebnis mit 100 und füge ein Prozentsymbol dazu
Dezimal in Bruch	1.	Zähler: Dezimalzahl ohne Komma Nenner: Zehner mit so vielen Nullen, wie die Dezimalzahl Kommastellen hat	$0.25$ im Bruch: $\frac{25}{100}$ Gekürzt: $\frac{1}{4}$
	2.	Kürze den Bruch soweit wie möglich
Prozent in Bruch	1.	Teile die Prozentzahl durch 100	$8\%$ als Dezimalzahl: $0.08$ im Bruch: $\frac{8}{100}$ Gekürzt: $\frac{2}{25}$
	2.	Weiter wie bei Dezimalzahlen

Strichrechnung

Brüche addieren und subtrahieren

VORGEHEN

1.	Brüche gleichnamig machen.
2.	Zähler addieren / subtrahieren, Nenner beibehalten.

Beispiel

$\frac{3}{5}+\frac{2}{9}=\frac{27}{45}+\frac{10}{45}=\frac{27+10}{45}=\underline{\frac{37}{45}}$

Bruch trennen

Aus einem Bruch mit Strichrechnung im Zähler mehrere Brüche machen.

VORGEHEN

Setze alle Elemente im Zähler, die durch Strichrechnung getrennt sind, auf einen eigenen Bruch.

Diese Brüche behalten den gleichen Nenner.

Beispiel

$\frac{5+2x}{3}=\frac{5}{3}+\frac{2x}{3}$

Punktrechnung

Multiplikation von Brüchen

VORGEHEN

Zähler multiplizieren.
Nenner multiplizieren.

Beispiel: $\frac{5}{3}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5\cdot5}{3\cdot6}=\frac{25}{18}$

Achtung bei Strichrechnung auf dem Bruch:

Multipliziere bei der Strichrechnung jedes Element, welches durch Stichrechnung getrennt ist, mit dem Multiplikator.

$\frac{5}{3}\cdot\frac{5x-4}{2}=\frac{5\cdot5x-5\cdot4}{3\cdot2}=\ldots$

Multiplikation Bruch mit ganzer Zahl

VORGEHEN

1.	Forme den Faktor um zu einem Bruch mit dem Nenner 1.
2.	Multipliziere die Brüche.

Beispiel: $4\cdot\frac{12}{7}=\frac{4}{1}\cdot\frac{12}{7}=\frac{4\cdot12}{1\cdot7}=\frac{48}{7}$

Kürzen bei Multiplikation

Bei der Multiplikation von Brüchen darf man Zähler und Nenner von verschiedenen Brüchen miteinander kürzen.

VORGEHEN

Kürze den Zähler von einem Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs.

Beispiel: $\frac{14}{27}\cdot\frac{18}{49}=\frac{2\cdot7}{3\cdot9}\cdot\frac{2\cdot9}{7\cdot7}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{7}$

Die 14 und 49 jeweils mit 7 gekürzt.

Die 18 und 27 jeweils mit 9 gekürzt.

Division von Brüchen

VORGEHEN

"Kehrbruch / Kehrzahl bilden": Teilenden Bruch umdrehen (Zähler und Nenner tauschen).

Dadurch wird das Geteilt-Zeichen $(:)$ zu einem Mal-Zeichen ( $\cdot$ ) umgewandelt.

Brüche multiplizieren.

Beispiel: $\frac{10}{3}:\frac{9}{8}=\frac{10}{3}\cdot\frac{8}{9}=\frac{10\cdot8}{3\cdot9}=\frac{80}{27}$

Division Bruch durch ganze Zahl

VORGEHEN

1.	Forme den Divisor um zu einem Bruch mit dem Nenner 1.
2.	Dividiere die Brüche.

Beispiel: $\frac{2}{5}∶9=\frac{2}{5}∶\frac{9}{1}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{9}=\frac{2}{45}$

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

FAQs

Frage: Was ist ein Bruch?

Antwort: Brüche dienen zur Darstellung von gebrochenen Zahlen. Die obere Zahl nennt man Nenner. Die untere Zahl nennt man Zähler. Der Nenner (auch Teiler genannt) gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde. Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile gemeint sind.
Frage: Wie macht man Brüche gleichnamig?

Antwort: Finde die nächste grössere Zahl, die durch beide Nenner teilbar ist. Erweitere beide Brüche: Bestimme jeweils die Vergrösserungsfaktoren für die Nenner. Multipliziere Nenner und Zähler mit dem jeweiligen Faktor.
Frage: Welche Rechenoperationen sollte man bei Brüchen kennen?

Antwort: Zu den typischen Rechenoperationen mit Brüchen gehören: Brüche erweitern und kürzen, Brüche gleichnamig machen, Strichrechnung und Punktrechnung.

Theorie

Übungen

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Brüche

Brüche

Definition

Brüche Erweitern und Kürzen

Erweitern

Kürzen

Brüche gleichnamig machen

Beispiel

Umrechnung zwischen Bruch, Dezimal- und Prozentzahl

VORGEHEN

Beispiel

Strichrechnung

Brüche addieren und subtrahieren

Beispiel

Bruch trennen

Beispiel

Punktrechnung

Multiplikation von Brüchen

Beispiel: 53⋅56=5⋅53⋅6=2518\frac{5}{3}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5\cdot5}{3\cdot6}=\frac{25}{18}35​⋅65​=3⋅65⋅5​=1825​​

Achtung bei Strichrechnung auf dem Bruch:

Multiplikation Bruch mit ganzer Zahl

Beispiel: 4⋅127=41⋅127=4⋅121⋅7=4874\cdot\frac{12}{7}=\frac{4}{1}\cdot\frac{12}{7}=\frac{4\cdot12}{1\cdot7}=\frac{48}{7}4⋅712​=14​⋅712​=1⋅74⋅12​=748​​

Kürzen bei Multiplikation

Beispiel: 1427⋅1849=2⋅73⋅9⋅2⋅97⋅7=23⋅27\frac{14}{27}\cdot\frac{18}{49}=\frac{2\cdot7}{3\cdot9}\cdot\frac{2\cdot9}{7\cdot7}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{7}2714​⋅4918​=3⋅92⋅7​⋅7⋅72⋅9​=32​⋅72​​

Division von Brüchen

Beispiel: 103:98=103⋅89=10⋅83⋅9=8027\frac{10}{3}:\frac{9}{8}=\frac{10}{3}\cdot\frac{8}{9}=\frac{10\cdot8}{3\cdot9}=\frac{80}{27}310​:89​=310​⋅98​=3⋅910⋅8​=2780​​

Division Bruch durch ganze Zahl

Beispiel: 25∶9=25∶91=25⋅19=245\frac{2}{5}∶9=\frac{2}{5}∶\frac{9}{1}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{9}=\frac{2}{45}52​∶9=52​∶19​=52​⋅91​=452​​

Brüche

Definition

Brüche Erweitern und Kürzen

Erweitern

Kürzen

Brüche gleichnamig machen

Beispiel

Umrechnung zwischen Bruch, Dezimal- und Prozentzahl

VORGEHEN

Beispiel

Strichrechnung

Brüche addieren und subtrahieren

Beispiel

Bruch trennen

Beispiel

Punktrechnung

Multiplikation von Brüchen

Beispiel: 53⋅56=5⋅53⋅6=2518\frac{5}{3}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5\cdot5}{3\cdot6}=\frac{25}{18}35​⋅65​=3⋅65⋅5​=1825​​

Achtung bei Strichrechnung auf dem Bruch:

Multiplikation Bruch mit ganzer Zahl

Beispiel: 4⋅127=41⋅127=4⋅121⋅7=4874\cdot\frac{12}{7}=\frac{4}{1}\cdot\frac{12}{7}=\frac{4\cdot12}{1\cdot7}=\frac{48}{7}4⋅712​=14​⋅712​=1⋅74⋅12​=748​​

Kürzen bei Multiplikation

Beispiel: 1427⋅1849=2⋅73⋅9⋅2⋅97⋅7=23⋅27\frac{14}{27}\cdot\frac{18}{49}=\frac{2\cdot7}{3\cdot9}\cdot\frac{2\cdot9}{7\cdot7}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{7}2714​⋅4918​=3⋅92⋅7​⋅7⋅72⋅9​=32​⋅72​​

Division von Brüchen

Beispiel: 103:98=103⋅89=10⋅83⋅9=8027\frac{10}{3}:\frac{9}{8}=\frac{10}{3}\cdot\frac{8}{9}=\frac{10\cdot8}{3\cdot9}=\frac{80}{27}310​:89​=310​⋅98​=3⋅910⋅8​=2780​​

Division Bruch durch ganze Zahl

Beispiel: 25∶9=25∶91=25⋅19=245\frac{2}{5}∶9=\frac{2}{5}∶\frac{9}{1}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{9}=\frac{2}{45}52​∶9=52​∶19​=52​⋅91​=452​​

Ich habe die Theorie verstanden.

Beispiel: $\frac{5}{3}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5\cdot5}{3\cdot6}=\frac{25}{18}$

Beispiel: $4\cdot\frac{12}{7}=\frac{4}{1}\cdot\frac{12}{7}=\frac{4\cdot12}{1\cdot7}=\frac{48}{7}$

Beispiel: $\frac{14}{27}\cdot\frac{18}{49}=\frac{2\cdot7}{3\cdot9}\cdot\frac{2\cdot9}{7\cdot7}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{7}$

Beispiel: $\frac{10}{3}:\frac{9}{8}=\frac{10}{3}\cdot\frac{8}{9}=\frac{10\cdot8}{3\cdot9}=\frac{80}{27}$

Beispiel: $\frac{2}{5}∶9=\frac{2}{5}∶\frac{9}{1}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{9}=\frac{2}{45}$

Beispiel: $\frac{5}{3}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5\cdot5}{3\cdot6}=\frac{25}{18}$

Beispiel: $4\cdot\frac{12}{7}=\frac{4}{1}\cdot\frac{12}{7}=\frac{4\cdot12}{1\cdot7}=\frac{48}{7}$

Beispiel: $\frac{14}{27}\cdot\frac{18}{49}=\frac{2\cdot7}{3\cdot9}\cdot\frac{2\cdot9}{7\cdot7}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{7}$

Beispiel: $\frac{10}{3}:\frac{9}{8}=\frac{10}{3}\cdot\frac{8}{9}=\frac{10\cdot8}{3\cdot9}=\frac{80}{27}$

Beispiel: $\frac{2}{5}∶9=\frac{2}{5}∶\frac{9}{1}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{9}=\frac{2}{45}$