Brüche

Definition

• Brüche dienen zur Darstellung von „gebrochenen Zahlen".
• Nenner (auch Teiler genannt): Gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde.
• Zähler: Gibt an, wie viele Teile davon in diesem Falle gemeint sind.

Brüche erweitern und kürzen

Beim Erweitern und Kürzen veränderst Du die Zahlen im Zähler und im Nenner um den gleichen Faktor. Das Verhältnis zwischen Zähler und Nenner bleibt dabei gleich.

Erweitern

Vergrössere Zähler und Nenner mit dem gleichen Faktor.
Der Faktor kann beliebig gewählt werden. Hier wird mit dem Faktor $$4$$ erweitert:

$$\frac{3}{5}=\frac{3\cdot4}{5\cdot4}=\frac{12}{20}$$​​

Mit Variablen:
Multipliziere Nenner und Zähler mit der gleichen Variable. Hier wird mit dem Faktor $$a$$ erweitert:

$$\frac{2}{7a}=\frac{2\cdot a}{7a\cdot a}=\frac{2a}{7a^2}$$​​

Kürzen

Verkleinere Zähler und Nenner mit dem gleichen Divisor, sodass ganze Zahlen entstehen. Hier wird mit dem Divisor $$5$$ gekürzt:

$$\frac{15}{20}=\frac{15∶5}{20∶5}=\frac{3}{4}$$​​

Mit Variablen:

Streiche im Nenner und Zähler die gleiche Anzahl an Variablen. Hier wird mit $$3a^2$$​ gekürzt:

$$\frac{3a^4}{9a^2}=\frac{3\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{9\ \cdot a\cdot a}=\frac{a\cdot a}{3\cdot1}=\frac{a^2}{3}$$​​

Beachte bei Strichrechnung im Bruch:

Nur dann kürzen, wann man einen Faktor findet, der in alle Werte im Zähler und Nenner hineinpasst. Hier wird mit $$5$$​ gekürzt:

​$$\frac{10+5x}{20}=\frac{5\cdot2+5\cdot x}{5\cdot4}=\frac{2+x}{4}$$​​

Brüche gleichnamig machen

VORGEHEN

1. ​Finde die nächste grössere Zahl, die durch beide Nenner teilbar ist.
   Tipp: Das Produkt aus beiden Nennern ist immer ein möglicher gemeinsamer Nenner.
   
2. Erweitere beide Brüche:
   Bestimme jeweils die Vergrösserungsfaktoren für die Nenner.
   Multipliziere Nenner und Zähler dem jeweiligen Faktor.
   

Beispiel

​$$\frac{3}{5}\ und\ \frac{2}{9}$$​​

Die nächste gemeinsame Zahl von $$5$$​ und $$9$$​ ist $$45$$​. Erweitere beide Brüche deshalb auf den gemeinsamen Nenner $$45$$​.

​$$\frac{3\cdot9}{5\cdot9}=\frac{27}{45}\$$​​

​$$\frac{2\cdot5}{9\cdot5}= \frac{10}{45}$$​​

Umrechnung zwischen Bruch, Dezimal- und Prozentzahl

Bruch in Dezimal

Teile Zähler durch den Nenner.

$$\frac{1}{5}=1∶5=\underline{0.2}$$​​

Bruch in Prozent

VORGEHEN

1. ​Teile Zähler durch den Nenner.
2. Multipliziere das Ergebnis mit $$100$$​ und füge ein Prozentsymbol dazu.

Beispiel

​$$\frac{3}{8}=3∶8=0.375$$​​

​$$0.375\cdot100\%=\underline{37.5\%}$$​​

Dezimal in Bruch

VORGEHEN

1. ​Zähler: Dezimalzahl ohne Komma.
   Nenner: Zehner mit so vielen Nullen, wie die Dezimalzahl Kommastellen hat.
   
2. Kürze den Bruch soweit wie möglich.

Beispiel

$$0.25$$​ als Bruch: $$\frac{25}{100}$$ und gekürzt: $$\frac14$$

Prozent in Bruch

VORGEHEN

1. ​Teile die Prozentzahl durch $$100$$.
2. Weiter wie bei Dezimalzahlen.

Beispiel

$$8\,\%$$​ als Dezimalzahl: $$0.08$$ und als Bruch $$\frac{8}{100}$$ und gekürzt: $$\frac{2}{25}$$

Strichrechnung 

Brüche addieren und subtrahieren

VORGEHEN

1. Brüche gleichnamig machen.
   
2. Zähler addieren / subtrahieren, Nenner beibehalten.

Beispiel

​$$\frac{3}{5}+\frac{2}{9}=\frac{27}{45}+\frac{10}{45}=\frac{27+10}{45}=\underline{\frac{37}{45}}$$​​

Bruch trennen

Aus einem Bruch mit Strichrechnung im Zähler mehrere Brüche machen.

VORGEHEN

Setze alle Elemente im Zähler, die durch Strichrechnung getrennt sind, auf einen eigenen Bruch.

Diese Brüche behalten den gleichen Nenner.

Beispiel

$$\frac{5+2x}{3}=\frac{5}{3}+\frac{2x}{3}$$​​

Punktrechnung 

Multiplikation von Brüchen

VORGEHEN

• Zähler multiplizieren.
• Nenner multiplizieren.

Beispiel

 $$\frac{5}{3}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5\cdot5}{3\cdot6}=\frac{25}{18}$$​

Achtung bei Strichrechnung auf dem Bruch:

Multipliziere bei der Strichrechnung jedes Element, welches durch Stichrechnung getrennt ist, mit dem Multiplikator.

$$\frac{5}{3}\cdot\frac{5x-4}{2}=\frac{5\cdot5x-5\cdot4}{3\cdot2}=\ldots$$​​

Multiplikation Bruch mit ganzer Zahl

VORGEHEN

1. ​Forme den Faktor um zu einem Bruch mit dem Nenner 1.
   
2. Multipliziere die Brüche.

Beispiel

 $$4\cdot\frac{12}{7}=\frac{4}{1}\cdot\frac{12}{7}=\frac{4\cdot12}{1\cdot7}=\frac{48}{7}$$​

Kürzen bei Multiplikation

Bei der Multiplikation von Brüchen darf man Zähler und Nenner von verschiedenen Brüchen miteinander kürzen.

VORGEHEN

Kürze den Zähler von einem Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs.

Beispiel

 $$\frac{14}{27}\cdot\frac{18}{49}=\frac{2\cdot7}{3\cdot9}\cdot\frac{2\cdot9}{7\cdot7}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{7}$$​

Die $$14$$​ und $$49$$​ jeweils mit $$7$$​ gekürzt.

Die $$18$$ und $$27$$​ jeweils mit $$9$$​ gekürzt.

Division von Brüchen

VORGEHEN

1. ​Kehrbruch / Kehrzahl bilden: Teilenden Bruch umdrehen (Zähler und Nenner tauschen).
   Dadurch wird das Geteilt-Zeichen ($$:$$) zu einem Mal-Zeichen ($$\cdot$$) umgewandelt.
2. Brüche multiplizieren.
   

Beispiel

 $$\frac{10}{3}:\frac{9}{8}=\frac{10}{3}\cdot\frac{8}{9}=\frac{10\cdot8}{3\cdot9}=\frac{80}{27}$$​

Division Bruch durch ganze Zahl

VORGEHEN

1. Forme den Divisor um zu einem Bruch mit dem Nenner $$1$$.
   
2. Dividiere die Brüche.​

Beispiel

 $$\frac{2}{5}∶9=\frac{2}{5}∶\frac{9}{1}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{9}=\frac{2}{45}$$​

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