Umgekehrte Proportionalität: Definition, Gleichung & Graph

Proportionalität vs. umgekehrte Proportionalität

Proportionalität

Umgekehrte Proportionalität

Beide Elemente wachsen um den gleichen Faktor.

Es gilt: «Je mehr desto mehr»
Oder: «Je weniger desto weniger»

Beide Grössen gleich multipliziert / dividiert.

Beide Elemente wachsen umgekehrt zueinander um den gleichen Faktor.

Es gilt: «Je mehr desto weniger»
Oder: «Je weniger desto mehr»

Eine Grösse multipliziert die andere Grösse dividiert.

Beispiel

Benzinverbrauch:

Mathematik; Umgekehrte Proportionalität / Was für ein Problem, liegt vor?; 2. Sek / Bez / Real; Umgekehrte Proportionalität: Definition, Gleichung & Graph

Beispiel

Zimmer aufräumen:

Mathematik; Umgekehrte Proportionalität / Was für ein Problem, liegt vor?; 2. Sek / Bez / Real; Umgekehrte Proportionalität: Definition, Gleichung & Graph

Umgekehrte Proportionalität als Gleichung

Produktgleichung

Aufgaben mit umgekehrt proportionalen Grössen kann man auch immer mit einer Produktgleichung lösen.

VORGEHEN

1.

Trage die gegebenen Werte in die Verhältnisgleichung ein:

Links:	Division aus gegebenen Startwerten
Rechts:	Division aus Zielwerten. Gesuchter Wert ( $x$ ) durch gegebenen Zielwert.

Grösse 1	$Start$	$Ziel$
Grösse 2	$Start$	$?$

Verhältnisgleichung:

${Start}_1\cdot{Start}_2={Ziel}_1\cdot x$

2.

Löse die Gleichung.

Dividiere die Gleichung mit der gegeben Zielgrösse. Rechne danach zusammen.

Beispiel

Ein rechteckiger Acker ist 95 m lang und 56 m breit. Er soll gegen ein Flächengleiches und ebenfalls rechteckiges Feld eingetauscht werden, welches 40 m breit sein soll. Wie lang wird das neue Feld sein?

Tabelle:

Länge [m]	$95$	$x$
Breite [m]	$56$	$40$

Produktgleichung: $95\cdot56=x\cdot40$

Gleichung lösen: $\begin{aligned}95\cdot56&=x\cdot40\ |:40\\95\cdot56:40&=x\\133&=x\end{aligned}$

Das neue Feld muss 133m lang sein.

Proportionalität im Graphen

Proportionalität

Umgekehrte Proportionalität

Der Graph ist eine gerade Linie

Der Graph ist eine gebogene Linie

Beispiel - Benzinverbrauch

Mathematik; Umgekehrte Proportionalität / Was für ein Problem, liegt vor?; 2. Sek / Bez / Real; Umgekehrte Proportionalität: Definition, Gleichung & Graph

Verbrauch [l]	8	12	16	...
Strecke [km]	100	150	200	...

Beispiel - Zimmer aufräumen

Mathematik; Umgekehrte Proportionalität / Was für ein Problem, liegt vor?; 2. Sek / Bez / Real; Umgekehrte Proportionalität: Definition, Gleichung & Graph

Kinder [Anzahl]	1	2	4	8
Zeit [h]	4	2	1	0.5