Bruch erweitern, kürzen & Anteile berechnen

Definition

• Brüche dienen zur Darstellung von „gebrochenen Zahlen".
• Nenner (auch Teiler genannt): Gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde.
• Zähler: Gibt an, wie viele Teile davon in diesem Falle gemeint sind.

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Anteile an Formen und Körper

Teile die Formen / den Körper in gleich gleich grosse Stücke ein. Zähle die Gesamtanzahl der Stücke (Nenner) und die Anzahl der markierten Stücke (Zähler). Bilde damit den Bruch.

Kreis

Die markierte Fläche ist: $$\frac{5}{12}$$​​​

Linie

Der komplette Strahl ist markiert, deshalb kann die markierte Strecke auch mit dem Bruch $$\frac11$$ dargestellt werden.

Fläche

Das Quadrat ist in vier gleiche Teile unterteilt. Der markierte Teil stellt $$\frac14$$ der Gesamtfläche dar.

Körper

Ein Würfel des Körpers ist: $$\frac{1}{10}$$​​

Anteile berechnen

Vorgehen

1. ​Multipliziere die Zahl mit dem Zähler.
   
2. Teile das Ergebnis durch den Nenner. 
   

Beispiel

​​$$\frac{4}{5}$$​​ von $$3$$​

​$$3\cdot4=12\\12∶5=\underline{2.4}$$​​

Brüche erweitern und kürzen

Beim Erweitern und Kürzen verändert man die Zahlen im Zähler und im Nenner um den gleichen Faktor. Das Verhältnis zwischen Zähler und Nenner bleibt dabei immer gleich.

Erweitern

• ​Vergrössere Zähler und Nenner mit dem gleichen Faktor.
  Der Faktor kann beliebig gewählt werden.
  

​$$\frac{3}{5}=\frac{3\cdot4}{5\cdot4}=\frac{12}{20}$$​​

• ​Mit Variablen: Multipliziere Nenner und Zähler mit der gleichen Variable.
  

​$$\frac{2}{7a}=\frac{2\cdot a}{7a\cdot a}=\frac{2a}{7a^2}$$​​

Kürzen

• ​Verkleinere Zähler und Nenner mit dem gleichen Divisor, sodass ganze Zahlen entstehen.
  

​$$\frac{15}{20}=\frac{15∶5}{20∶5}=\frac{3}{4}$$​​

• ​Mit Variablen: Streiche im Nenner und Zähler die gleiche Anzahl an Variablen.
  

​$$\frac{3a^4}{9a^2}=\frac{3\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{9\ \cdot a\cdot a}=\frac{a\cdot a}{3\cdot1}=\frac{a^2}{3}$$​​

• ​Beachte bei Strichrechnung im Bruch: Nur dann kürzen, wann man einen Faktor findet, der in alle Werte im Zähler und Nenner hineinpasst.
  

​$$\frac{10+5x}{20}=\frac{5\cdot2+5\cdot x}{5\cdot4}=\frac{2+x}{4}$$​​

Brüche gleichnamig machen

VORGEHEN

1. ​Finde die nächste grössere Zahl, die durch beide Nenner teilbar ist.
   Tipp: Das Produkt aus beiden Nennern ist immer ein möglicher gemeinsamer Nenner.
   
2. Erweitere beide Brüche:
   Bestimme jeweils die Vergrösserungsfaktoren für die Nenner.
   Multipliziere Nenner und Zähler dem jeweiligen Faktor.

Beispiel

​​$$\frac{3}{5}\ und\ \frac{2}{9}$$​

​Die nächste gemeinsame Zahl von $$5$$​ und $$9$$​ ist $$45$$:

$$\frac{3\cdot9}{5\cdot9}\ und\ \frac{2\cdot5}{9\cdot5}$$​​

$$\frac{27}{45}\ und\ \frac{10}{45}$$​​

Brüche vergleichen

VORGEHEN

1. ​Brüche „Gleichnamig" machen: Durch Erweitern oder Kürzen sollen die gleichen Nenner entstehen.
   
2. Vergleiche die Zahlen der Zähler.

Beispiel

Vergleiche $$\frac{5}{9}\ zu\ \frac{3}{7}$$​​

Mache sie gleichnamig und vergleiche dann die Zähler: 

​$$\frac{35}{63}\ zu\ \frac{27}{63}$$​​

$$35$$​ ist der grösser als $$27$$​.

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