Kombinatorik: Definition & Formeln

Definition

Die Kombinatorik behandelt die mögliche Anzahl an Kombinationen von Elementen (z.B. Dinge oder Personen).

Grundlagen der Kombinatorik

Anzahl Kombinationen

Mehrere Elemente sollen kombiniert werden. Bei jeder weiteren Auswahl muss überlegt werden, aus wie vielen möglichen Elementen man wählen darf. 

Die mögliche Anzahl an Kombinationen von erhält man durch die Multiplikation der Auswahlmöglichkeiten bei jeder Auswahl.

VORGEHEN

Beispiel

Eine Gruppe von 12 Schülern wollen ein Team aus 4 Spielern zusammenstellen.

Wie viele Mögliche Teams gibt es?

Möglichkeiten pro Auswahl:

Möglichkeiten total:

$$12\cdot11\cdot10\cdot9=\underline{11\ 880}$$​​

Wahrscheinlichkeit von Kombinationen

Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Kombination berechnen.

Wichtig: Die Auswahl jedes Elements muss gleich wahrscheinlich sein.

VORGEHEN

Beispiel

Eine Gruppe von 12 Schülern wollen ein Team aus 4 Spielern zusammenstellen. 

Wie gross die Wahrscheinlichkeit, dass nur Lisa, Uwe, Eva und Dirk im Team sind?

Möglichkeiten total:

$$12\cdot11\cdot10\cdot9=11\ 880$$​​

Möglichkeiten eines Teams mit Lisa, Uwe, Eva und Dirk:

$$4\cdot3\cdot2\cdot1=24$$​​

Wahrscheinlichkeit - nur Lisa, Uwe, Eva und Dirk im Team:

$$p= \frac{24}{11\ 880} =0.002=\underline{0.2\%}$$​​

Kombinatorik Formeln

Fakultät

Es sollen n unterschiedliche Elemente aufgereiht werden.

Mögliche Anzahl Aufreihungen:

Multipliziere alle natürlichen Zahlen bis zur Anzahl der Elemente.

$$1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\ldots\cdot n$$​​

Beispiel - Gruppe von 8 Schülern in einer Reihe aufstellen: Anzahlmögliche Reihen:

$$8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=40\ 320$$​​

Binomialkoeffizient

Aus einer Anzahl unterschiedlicher Elemente (obere Zahl) soll eine Anzahl an Elemente (untere Zahl) ausgewählt werden.

Mögliche Anzahl an Zusammenstellungen (Reihenfolge nicht wichtig):

Beispiel - Aus 8 Schülern soll eine Gruppe von 3 Schülern gebildet werden.

Anzahl mögliche Gruppen:

$$\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=\underline{56}\ Gruppen$$​​

SONDERREGEL

Man kann den unteren Wert des Binomialkoeffizienten tauschen. Manchmal ist die Berechnung dann einfacher.

Darstellung

Folgende Strukturen helfen dabei alle Möglichkeiten einer Fragestellen übersichtlich darzustellen.

Als Tabelle

Jede Zeile steht für eine mögliche Kombination.

Variiere in jeder weiteren Zeile die Elemente nach dem gleichen Muster

Tabellen-Darstellung ist gut für:

• Wenig Elemente
• Wenige Einschränkungen / Bedingungen für die Kombinationen

Beispiel

Zahlen 1, 2, 3 aufreihen:

Als Baum

Gleicher Aufbau wie beim der Baumdarstellung bei Wahrscheinlichkeiten:

• Jede Stufe steht wir eine Auswahl
• Alle Knoten nach dem Startknoten stehen für mögliche Elemente einer Auswahl

Baum-Darstellung ist gut für:

• Viele Elemente
• Viele Einschränkungen / Bedingungen für die Kombinationen
• Entscheidungsprozesse