Teiler und Vielfache: Berechnung von ggT und kgV

ggT – Grösster gemeinsamer Teiler

Definition

Der ggT von zwei oder mehr Zahlen ist die grösste Zahl, durch welche die Zahlen geteilt werden können.

Beispiel

ggT von $$56$$​ und $$84$$​:

• Teiler von $$56: 1, 2, 4, 7, 8, 14, \underline{28}, 56$$
• Teiler von $$84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, \underline{28}, 42, 84$$

Der ggT ist $$\underline{28}$$.

ggT bestimmen

VORGEHEN

1. Zerlege die Zahlen in ihre Primfaktoren (Primfaktorzerlegungen).
   
2. Notiere, welche Faktoren in allen Zerlegungen vorkommen.
3. Multipliziere diese Faktoren.

Beispiel

ggT von $$56$$​ und $$84$$:

Primfaktorzerlegung:

Gemeinsame Primfaktoren: zweimal $$2$$​ und einmal $$7$$​

ggT: $$2\cdot2\cdot7=28$$

kgV – Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Definition

Das kgV von zwei oder mehr Zahlen ist die kleinste Zahl, die sich durch die Zahlen teilen lässt.

Beispiel

kgV von $$12$$​ und $$16$$​:

Vielfache von $$12: 12, 24, 36, \underline{48}, 60, …$$​

Vielfache von $$16: 16, 32, \underline{48}, 64, …$$​

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist $$\underline{48}$$​.

kgV bestimmen

VORGEHEN

1. ​Zerlege die Zahlen in ihre Primfaktoren (Primfaktorzerlegungen).
   
2. Notiere, wie oft Faktoren maximal vorkommen.
3. Multipliziere alle Faktoren:
   • ​Jeden Faktor so oft mit sich selbst, wie er maximal vorkommt.
     
   • Und alle Faktoren miteinander.

Beispiel

kgV von $$12$$​ und $$16$$​:

Primfaktorzerlegung:

Primfaktoren: $$2^2\cdot3$$​

Primfaktoren: $$2^4$$​

​

Alle Primfaktoren

kgV: $$2^4\cdot3^1=\underline{48}$$​