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Ungleichungssystem mit mehreren Ungleichungen

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Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Ungleichungssystem mit mehreren Ungleichungen

Definition

Ein Ungleichungssystem ist eine Zusammenstellung von mehreren Ungleichungen.

Ziel ist es den Bereich in einem Koordinatensystem zu markieren, welcher alle Ungleichungen erfüllt.


Beispiel

y1y+x4x+2y<0\left|\begin{matrix}y\geq1\\y+x\geq-4\\x+2y<0\\\end{matrix}\right|​​



Ungleichungssystem lösen

Lösungsbereich eines Ungleichungssystem zeichnen

Zum Lösen benötigt man ein Koordinatensystem.


VORGEHEN

1.

Bei allen Ungleichungen yy alleine stellen.

Beachte, Multipliziert oder dividiert man mit einer negativen Zahl, so muss man das Ungleichzeichen umdrehen.

2.

Ungleichungen jeweils als lineare Funktion im Koordinatensystem einzeichnen:

  • Gleichungen mit \geq​ oder \le​ als durchgehende Linie
  • Gleichungen mit >> oder <<​ als gestrichelte Linie

3.

Einzelne Lösungsbereiche markieren. Für Gleichungen mit:

  • yy\geq  und y>y>​: Markiere den Bereich oberhalb der Linie 
  • yy\le ​ und y<y<​: Markiere den Bereich unterhalb der Linie 

4.

Markiere den Bereich deutlich, wo sich alle einzelnen Lösungsbereiche überdecken.


Beispiel

y4<x20.5xy12xy\left|\begin{matrix}y-4<-x\\2\geq0.5x-y\\-1\le2x-y\\\end{matrix}\right|​​


Umgeformt nach y:

y<x+4y0.5x2y2x+1\left|\begin{matrix}y<-x+4\\y\geq0.5x-2\\y\le2x+1\\\end{matrix}\right|​​


Einzelne Lösungsbereiche:

y<x+4y<-x+4​​
Gepunktete Linie da «<»
Bereich unterhalb \downarrow ​ da «<»
y0.5x2y\geq0.5x-2​​
Durchgehende Linie da «\geq​»
Bereich oberhalb \uparrow​ da «\geq​»
y2x+1y\le2x+1​​
Durchgehende Linie da «\le​»
Bereich unterhalb \downarrow​ da «\le​»


Gemeinsamer Lösungsbereich (graue Fläche):

Mathematik; Gleichungssysteme; 3. Sek / Bez / Real; Ungleichungssystem mit mehreren Ungleichungen



Vorgehen bei typischen Aufgaben

Satzaufgaben mit Ungleichungssystem

Manche Satzaufgaben muss man mit einem Ungleichungssystem lösen. Es gibt immer zwei Variablen. Einerseits muss man den erlaubten Bereich der Variablen in einem Koordinatensystem markieren. Andererseits muss man in dem Bereich manchmal einen optimalen Punkt finden.


VORGEHEN

1.

Notiere die unbekannten Werte.

Setze für jede Unbekannte einer Variablen.

2.

Gehe Satz für Satz durch den Text und stelle jedes Verhältnis der Variablen als Ungleichung dar.

Tipp:

  • Aus dem Verhältnis eine Gleichung
  • Setze danach das passende Ungleichzeichen
Beispiel 

Es sollen maximal 50 weisse (x) und schwarze (y) Stühle hergestellt werden.

Summengleichung: x+y=50x+y=50

Ungleichung für «maximal»: x+y50x+y\le50

3.

Zeichne den Lösungsbereich in ein Koordinatensystem.

4.

Falls eine Grösse optimiert werden muss:

Prüfe welcher Eckpunkt des Lösungsbereichs diese Grösse optimiert.


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Ungleichungssystem?

Wie löst man ein Ungleichungssystem?

Wie löst man eine Satzaufgabe mit Ungleichung?

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