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Potenzfunktionen

Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

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Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Definition

Bei der Wurzelfunktion steht die Variable unter einer Wurzel.

f(x)=x1n=xnf\left(x\right)=x^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{x}​​


Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion f1f^{-1} der Potenzfunktion ff (für nNn\in\mathbb{N}):

ff1xnxnf \rightarrow f^{-1}\\x^n \rightarrow \sqrt[n]{x}​​


Hinweis: Bei geraden Exponenten darf man nur positive xWertex-Werte der Potenzfunktion betrachten, sonst wäre die Umkehrzuordnung keine Funktion.



Basisfunktionen

Potenzfunktionen der Form x12,x13,x14,x^\frac{1}{2},x^\frac{1}{3},x^\frac{1}{4},\ldots kann man als Basisfunktionen der Wurzelfunktion bezeichnen.


f(x)=x12=xf\left(x\right)=x^\frac{1}{2}=\sqrt x​​
f(x)=x13=x3f\left(x\right)=x^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{x}​​
f(x)=x14=x4f\left(x\right)=x^\frac{1}{4}=\sqrt[4]{x}​​
f(x)= f\left(x\right)=\ \ldots​​

Definitionsbereich D\mathbb{D}

 nn​ gerade

Es dürfen ausschliesslich positive Zahlen für xx (x0x\geq0) eingesetzt werden:

D=R0+\mathbb{D}=\mathbb{R}_0^+​​

nn​ ungerade

Es dürfen alle Zahlen für xx eingesetzt werden:

D=R\mathbb{D}=\mathbb{R}​​


Wertebereich W\mathbb{W}

nn​ gerade

Die Funktionswerte yy sind immer positiv (y0y\geq0):

W=R0+\mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+​​

nn​ ungerade

Die Funktionswerte yy können alle Zahlen annehmen:

W=RW=R\mathbb{W}=\mathbb{R}\mathbb{W}=\mathbb{R}​​


Eigenschaften

Jede Basisfunktion:

  • verläuft durch die Punkte (0|0)\left(0\middle|0\right) und (1|1)\left(1\middle|1\right).
  • mit ungeraden n verläuft zudem durch den Punkt (1|1)\left(-1\middle|-1\right).
  • ist streng monoton wachsend.


Darstellung

nn​ gerade

x, x4,x6,\sqrt x,\ \sqrt[4]{x},\sqrt[6]{x},\ldots​​

nn​ ungerade

x3,x5,x7,\sqrt[3]{x},\sqrt[5]{x},\sqrt[7]{x},\ldots​​

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung
Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Hinweis: Beachte, wo sich die Graphen schneiden:

  • jede Basisfunktion läuft durch den Punkt (1|1)\left(1\middle|1\right) und (0|0)\left(0\middle|0\right)
  • jede Basisfunktion mit n ungerade läuft durch den Punkt (1|1)\left(-1\middle|-1\right)
Wertetabelle für f(x)=xf(x)=\sqrt x:

xx​​
00​​
11​​
22​​
33​​
yy​​
00​​
11​​
1.41..1.41..​​
1.73..1.73..​​


Wertetabelle für f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x}:

xx​​
00​​
11​​
22​​
33​​
yy​​
00​​
11​​
1.25..1.25..​​
1.44..1.44..​​




Allgemeine Wurzelfunktionen/-formel

Die allgemeine Wurzelfunktion (-formel) ist eine veränderte Form der Basisfunktion.


Formel

Die Basisfunktion wird mit den Parametern a, u und v verändert.


f(x)=axun+vf\left(x\right)=a\sqrt[n]{x-u}+v​​


aa​:

Streckungs-/Stauchungsfaktor

uu​:

Verschiebung in xx-Achsenrichtung

vv​:

Verschiebung in yy-Achsenrichtung

P(uv)P(u|v)​:

Startpunkt / Ursprung der Funktion


Definitionsbereich D\mathbb{D}

nn​ gerade

Der Term unter der Wurzel soll positiv sein:  xu0\ x-u\geq0

D=Ru(xu)\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq u}(x\geq u)​​

nn​ ungerade

Es dürfen weiterhin alle Zahlen für xx​ eingesetzt werden:

D=R\mathbb{D}=\mathbb{R}​​


Wertebereich W\mathbb{W}

nn​ gerade

Der Wertebereich verschiebt sich mit v(yv v (y\geq v):

W=Rv\mathbb{W}=\mathbb{R}\geq v​​

Der Wertebereich wird gespiegelt mit negativen a(yva (y\le v):

W=Rv\mathbb{W}=\mathbb{R}\le v​​

nn​ ungerade

Die Funktionswerte yy können weiterhin alle Zahlen annehmen:

W=R\mathbb{W}=\mathbb{R}​​



Streckungs-/Stauchungsfaktor

a>1\left|\mathbf{a}\right|>\mathbf{1}​: STRECKUNG IN Y-RICHTUNG

a<1\left|\mathbf{a}\right|<\mathbf{1}​: STAUCHUNG IN Y-RICHTUNG

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aa​ NEGATIV – SPIEGELUNG AN X-ACHSE

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Verschiebung in x- und y-Achsenrichtung

u<0\mathbf{u}<\mathbf{0}​: IN NEGATIVE X-RICHTUNG

u>0\mathbf{u}>\mathbf{0}​: IN POSITIVE X-RICHTUNG

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung
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v<0\mathbf{v}<\mathbf{0}​: IN NEGATIVE Y-RICHTUNG

v>0\mathbf{v}>\mathbf{0}​: IN POSITIVE Y-RICHTUNG

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine Basisfunktion?

Ist die Wurzelfunktion eine Funktion?

Wie sieht eine Wurzelfunktion aus?

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