Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Definition

Bei der Wurzelfunktion steht die Variable unter einer Wurzel.

$f\left(x\right)=x^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{x}$

Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion $f^{-1}$ der Potenzfunktion $f$ (für $n\in\mathbb{N}$ ):

f \rightarrow f^{-1}\\x^n \rightarrow \sqrt[n]{x}

Hinweis: Bei geraden Exponenten darf man nur positive $x-Werte$ der Potenzfunktion betrachten, sonst wäre die Umkehrzuordnung keine Funktion.

Basisfunktionen

Potenzfunktionen der Form $x^\frac{1}{2},x^\frac{1}{3},x^\frac{1}{4},\ldots$ kann man als Basisfunktionen der Wurzelfunktion bezeichnen.

f\left(x\right)=x^\frac{1}{2}=\sqrt x

f\left(x\right)=x^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{x}

f\left(x\right)=x^\frac{1}{4}=\sqrt[4]{x}

f\left(x\right)=\ \ldots

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

$n$ gerade

Es dürfen ausschliesslich positive Zahlen für $x$ ( $x\geq0$ ) eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}_0^+$

$n$ ungerade

Es dürfen alle Zahlen für $x$ eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

$n$ gerade

Die Funktionswerte $y$ sind immer positiv ( $y\geq0$ ):

$\mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+$

$n$ ungerade

Die Funktionswerte $y$ können alle Zahlen annehmen:

$\mathbb{W}=\mathbb{R}\mathbb{W}=\mathbb{R}$

Eigenschaften

Jede Basisfunktion:

verläuft durch die Punkte $\left(0\middle|0\right)$ und $\left(1\middle|1\right)$ .
mit ungeraden n verläuft zudem durch den Punkt $\left(-1\middle|-1\right)$ .
ist streng monoton wachsend.

Darstellung

$n$ gerade

$\sqrt x,\ \sqrt[4]{x},\sqrt[6]{x},\ldots$

$n$ ungerade

$\sqrt[3]{x},\sqrt[5]{x},\sqrt[7]{x},\ldots$

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

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Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Hinweis: Beachte, wo sich die Graphen schneiden:

jede Basisfunktion läuft durch den Punkt $\left(1\middle|1\right)$  und $\left(0\middle|0\right)$ 
jede Basisfunktion mit n ungerade läuft durch den Punkt $\left(-1\middle|-1\right)$

Wertetabelle für

f(x)=\sqrt x

:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$0$	$1$	$1.41..$	$1.73..$

Wertetabelle für

f(x)=\sqrt[3]{x}

:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$0$	$1$	$1.25..$	$1.44..$

Allgemeine Wurzelfunktionen/-formel

Die allgemeine Wurzelfunktion (-formel) ist eine veränderte Form der Basisfunktion.

Formel

Die Basisfunktion wird mit den Parametern a, u und v verändert.

$f\left(x\right)=a\sqrt[n]{x-u}+v$

$a$ :	Streckungs-/Stauchungsfaktor
$u$ :	Verschiebung in $x$ -Achsenrichtung
$v$ :	Verschiebung in $y$ -Achsenrichtung
$P(u\|v)$ :	Startpunkt / Ursprung der Funktion

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

$n$ gerade

Der Term unter der Wurzel soll positiv sein: $\ x-u\geq0$

$\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq u}(x\geq u)$

$n$ ungerade

Es dürfen weiterhin alle Zahlen für $x$ eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

n

gerade

Der Wertebereich verschiebt sich mit $v (y\geq v$ ):

$\mathbb{W}=\mathbb{R}\geq v$

Der Wertebereich wird gespiegelt mit negativen $a (y\le v$ ):

$\mathbb{W}=\mathbb{R}\le v$

n

ungerade

Die Funktionswerte $y$ können weiterhin alle Zahlen annehmen:

$\mathbb{W}=\mathbb{R}$

Streckungs-/Stauchungsfaktor

$\left\|\mathbf{a}\right\|>\mathbf{1}$ : STRECKUNG IN Y-RICHTUNG	$\left\|\mathbf{a}\right\|<\mathbf{1}$ : STAUCHUNG IN Y-RICHTUNG


$a$ NEGATIV – SPIEGELUNG AN X-ACHSE

Verschiebung in x- und y-Achsenrichtung

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

$\mathbf{u}<\mathbf{0}$ : IN NEGATIVE X-RICHTUNG	$\mathbf{u}>\mathbf{0}$ : IN POSITIVE X-RICHTUNG

$\mathbf{v}<\mathbf{0}$ : IN NEGATIVE Y-RICHTUNG	$\mathbf{v}>\mathbf{0}$ : IN POSITIVE Y-RICHTUNG

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung