Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung Definition Bei der Wurzelfunktion steht die Variable unter einer Wurzel.
f ( x ) = x 1 n = x n f\left(x\right)=x^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{x} f ( x ) = x n 1 = n x
Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion f − 1 f^{-1} f − 1 der Potenzfunktion f f f (für n ∈ N n\in\mathbb{N} n ∈ N ) :
f → f − 1 x n → x n f \rightarrow f^{-1}\\x^n \rightarrow \sqrt[n]{x} f → f − 1 x n → n x
Hinweis: Bei geraden Exponenten darf man nur positive x − W e r t e x-Werte x − W er t e der Potenzfunktion betrachten, sonst wäre die Umkehrzuordnung keine Funktion.
Basisfunktionen Potenzfunktionen der Form x 1 2 , x 1 3 , x 1 4 , … x^\frac{1}{2},x^\frac{1}{3},x^\frac{1}{4},\ldots x 2 1 , x 3 1 , x 4 1 , … kann man als Basisfunktionen der Wurzelfunktion bezeichnen.
f ( x ) = x 1 2 = x f\left(x\right)=x^\frac{1}{2}=\sqrt x f ( x ) = x 2 1 = x
f ( x ) = x 1 3 = x 3 f\left(x\right)=x^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{x} f ( x ) = x 3 1 = 3 x
f ( x ) = x 1 4 = x 4 f\left(x\right)=x^\frac{1}{4}=\sqrt[4]{x} f ( x ) = x 4 1 = 4 x
f ( x ) = … f\left(x\right)=\ \ldots f ( x ) = …
Definitionsbereich D \mathbb{D} D n n n gerade
Es dürfen a usschliesslich positive Zahlen für x x x (x ≥ 0 x\geq0 x ≥ 0 ) eingesetzt werden:
D = R 0 + \mathbb{D}=\mathbb{R}_0^+ D = R 0 +
n n n ungerade
Es dürfen alle Zahlen für x x x eingesetzt werden:
D = R \mathbb{D}=\mathbb{R} D = R
Wertebereich W \mathbb{W} W n n n gerade
Die Funktionswerte y y y sind immer positiv (y ≥ 0 y\geq0 y ≥ 0 ):
W = R 0 + \mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+ W = R 0 +
n n n ungerade
Die Funktionswerte y y y können alle Zahlen annehmen:
W = R W = R \mathbb{W}=\mathbb{R}\mathbb{W}=\mathbb{R} W = RW = R
Eigenschaften Jede Basisfunktion:
verläuft durch die Punkte ( 0 | 0 ) \left(0\middle|0\right) ( 0 ∣ 0 ) und ( 1 | 1 ) \left(1\middle|1\right) ( 1 ∣ 1 ) . mit ungeraden n verläuft zudem durch den Punkt ( − 1 | − 1 ) \left(-1\middle|-1\right) ( − 1 ∣ − 1 ) . ist streng monoton wachsend.
Darstellung n n n gerade
x , x 4 , x 6 , … \sqrt x,\ \sqrt[4]{x},\sqrt[6]{x},\ldots x , 4 x , 6 x , …
n n n ungerade
x 3 , x 5 , x 7 , … \sqrt[3]{x},\sqrt[5]{x},\sqrt[7]{x},\ldots 3 x , 5 x , 7 x , …
Hinweis : Beachte, wo sich die Graphen schneiden:
jede Basisfunktion läuft durch den Punkt ( 1 | 1 ) \left(1\middle|1\right) ( 1 ∣ 1 ) und ( 0 | 0 ) \left(0\middle|0\right) ( 0 ∣ 0 ) jede Basisfunktion mit n ungerade läuft durch den Punkt ( − 1 | − 1 ) \left(-1\middle|-1\right) ( − 1 ∣ − 1 ) Wertetabelle für
f ( x ) = x f(x)=\sqrt x f ( x ) = x
Wertetabelle für
f ( x ) = x 3 f(x)=\sqrt[3]{x} f ( x ) = 3 x
Allgemeine Wurzelfunktionen/-formel Die allgemeine Wurzelfunktion (-formel) ist eine veränderte Form der Basisfunktion.
Formel Die Basisfunktion wird mit den Parametern a, u und v verändert.
f ( x ) = a x − u n + v f\left(x\right)=a\sqrt[n]{x-u}+v f ( x ) = a n x − u + v
a a a :
Streckungs-/Stauchungsfaktor
u u u :
Verschiebung in x x x -Achsenrichtung
v v v :
Verschiebung in y y y -Achsenrichtung
P ( u ∣ v ) P(u|v) P ( u ∣ v ) :
Startpunkt / Ursprung der Funktion
Definitionsbereich D \mathbb{D} D n n n gerade
Der Term unter der Wurzel soll positiv sein: x − u ≥ 0 \ x-u\geq0 x − u ≥ 0
D = R ≥ u ( x ≥ u ) \mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq u}(x\geq u) D = R ≥ u ( x ≥ u )
n n n ungerade
Es dürfen weiterhin alle Zahlen für x x x eingesetzt werden:
D = R \mathbb{D}=\mathbb{R} D = R
Wertebereich W \mathbb{W} W Der Wertebereich verschiebt sich mit v ( y ≥ v v (y\geq v v ( y ≥ v ):
W = R ≥ v \mathbb{W}=\mathbb{R}\geq v W = R ≥ v
Der Wertebereich wird gespiegelt mit negativen a ( y ≤ v a (y\le v a ( y ≤ v ):
W = R ≤ v \mathbb{W}=\mathbb{R}\le v W = R ≤ v
Die Funktionswerte y y y können weiterhin alle Zahlen annehmen:
W = R \mathbb{W}=\mathbb{R} W = R
Streckungs-/Stauchungsfaktor ∣ a ∣ > 1 \left|\mathbf{a}\right|>\mathbf{1} ∣ a ∣ > 1 : STRECKUNG IN Y-RICHTUNG ∣ a ∣ < 1 \left|\mathbf{a}\right|<\mathbf{1} ∣ a ∣ < 1 : STAUCHUNG IN Y-RICHTUNG
a a a NEGATIV – SPIEGELUNG AN X-ACHSE
Verschiebung in x- und y-Achsenrichtung
u < 0 \mathbf{u}<\mathbf{0} u < 0 : IN NEGATIVE X-RICHTUNG u > 0 \mathbf{u}>\mathbf{0} u > 0 : IN POSITIVE X-RICHTUNG v < 0 \mathbf{v}<\mathbf{0} v < 0 : IN NEGATIVE Y-RICHTUNG v > 0 \mathbf{v}>\mathbf{0} v > 0 : IN POSITIVE Y-RICHTUNG