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Mathematik

Potenzfunktionen

Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Lektion auswählen

Grundlagen

Bruch erweitern, kürzen & Anteile berechnen

Binomische und trinomische Formeln

Variablen und Terme: Basiswissen

Zahlenmengen: Darstellung & Intervalle

Mengenlehre: Darstellung, Eigenschaften & Venn-Diagramm

Umrechnung zwischen Bruch, Dezimal- und Prozentzahl

Brüche

Zweiklammeransatz: Definition & Beispiel

Mit Termen rechnen: Addition & Subtraktion

Mit Termen rechnen: Multiplikation & Division

Faktorisieren: Definition & Vorgehen

Addition und Subtraktion von Brüchen

Betrag berechnen bei Punkt- & Strichrechnung

Terme vereinfachen: Strich- & Punktrechnung

Punktrechnung mit Brüchen

Bruchterme vereinfachen: Vorgehen & Beispiele

Polynomdivision durchführen

Bruchterme mit Wurzeln: Vorgehen & Beispiel

Bruchterme mit Faktorisieren

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen als Boxenanordnung

Lineare Gleichungen mit Parametern

Bruchgleichung ohne Variable im Nenner

Bruchgleichungen mit Variablen im Nenner

Satzaufgaben mit Anteilen

Lineare Gleichung als Boxanordnung

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichung Einführung

Direkte Berechnung quadratischer Gleichungen

Faktorzerlegung einer quadratischen Gleichung

Gleichung lösen mit quadratischer Ergänzung

Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

Mitternachtsformel (abc-Formel) anwenden

Gleichungen: Textaufgaben

Satzaufgaben mit zwei Variablen lösen

Potenzen

Potenzgesetze anwenden mit Beispielen

Potenzterme vereinfachen: Rechenregeln

Exponentialgleichungen lösen

Wurzel berechnen

Wurzelterme vereinfachen: Rechenregeln

Wurzelgleichung lösen und Definitionsbereich bestimmen

Rechnen mit absoluten & relativen Grössen

Logarithmus

Logarithmusgleichungen lösen

Wurzel: Definition, Rechenregeln & Beispiele

Ungleichungen

Lineare Ungleichung

Bruchungleichungen: Definition & Vorgehen

Quadratische Ungleichungen lösen

Ungleichungssystem mit mehreren Ungleichungen

Lineare Funktionen

Funktionsbegriff: Definition & Darstellung

Lineare Funktion: Definition & Darstellung

Schnittpunkt von linearen Funktionen bestimmen

Umkehrung linearer Funktionen bestimmen: rechnerisch & graphisch

Lineare Optimierung

Lineare Optimierung berechnen

Quadratische Funktion

Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

Quadratische Optimierung: Definition & Vorgehen

Satzaufgaben mit quadratischer Funktion lösen

Schnittpunkte von Funktionen berechnen

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Wachstums- und Zerfallsprozesse berechnen

Logarithmusfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Datenanalyse

Grundlagen der Datenanalyse

Diagramme und Verteilungen

Streuungsmasse: Spannweite, Varianz und mehr

Boxplot: Definition & Kennwerte

Betriebswirtschaftliche Funktionen

Betriebswirtschaftliche Funktionen: Definition & Formeln

Spezielle Funktionen: Pauschalgebühr & Mengenrabatt

Markt und Preisbildung

Preisbildung lineare Funktionen

Preisbildung nicht-lineare Funktionen

Preisbildung externe Markteinflüsse

Zinsrechnung

Zinseszinses & unterjährige Verzinsung: Definition & Formeln

Spezialfälle der Zinsrechnung berechnen

Renten- und Tilgungsrechnung

Rentenrechnung: Definition & Formeln

Tilgungsrechnung: Definition & Formeln

Flächen berechnen

Dreiecke: Typen, Flächeninhalt & Konstruktionen

Kreis & Kreiszahl: Definition, Formeln & Beispiele

Kreissektor: Definition & Formeln

Kreis und Gerade: Sekante, Tangente & Passante konstruieren

n - Ecke: Definition, Aussen- & Innenwinkel

Ähnlichkeit von Figuren bestimmen

Goldener Schnitt: Definition & Teilungsverhältnis

Trigonometrie

Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

Einheitskreis: Definition & typische Aufgaben

Körper

Prisma Ansichten und Netze

Prisma: Fläche & Volumen berechnen

Zylinder: Definition & Eigenschaften

Pyramide

Pyramide Ansichten Netze

Pyramide: Fläche & Volumen berechnen

Kegel: Definition & Eigenschaften

Kugel: Definition & Formeln

Platonische Körper: Definition & Eigenschaften

Archimedische Körper: Definition & Eigenschaften

Schattenwurf bestimmen: Definition & Beispiele

Wahrscheinlichkeit

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen

Zufallsexperiment

Erklärvideo

Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Definition

Bei der Wurzelfunktion steht die Variable unter einer Wurzel.

$f\left(x\right)=x^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{x}$

Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion $f^{-1}$ der Potenzfunktion $f$ (für $n\in\mathbb{N}$ ):

f \rightarrow f^{-1}\\x^n \rightarrow \sqrt[n]{x}

Hinweis: Bei geraden Exponenten darf man nur positive $x-Werte$ der Potenzfunktion betrachten, sonst wäre die Umkehrzuordnung keine Funktion.

Basisfunktionen

Potenzfunktionen der Form $x^\frac{1}{2},x^\frac{1}{3},x^\frac{1}{4},\ldots$ kann man als Basisfunktionen der Wurzelfunktion bezeichnen.

f\left(x\right)=x^\frac{1}{2}=\sqrt x

f\left(x\right)=x^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{x}

f\left(x\right)=x^\frac{1}{4}=\sqrt[4]{x}

f\left(x\right)=\ \ldots

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

$n$ gerade

Es dürfen ausschliesslich positive Zahlen für $x$ ( $x\geq0$ ) eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}_0^+$

$n$ ungerade

Es dürfen alle Zahlen für $x$ eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

$n$ gerade

Die Funktionswerte $y$ sind immer positiv ( $y\geq0$ ):

$\mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+$

$n$ ungerade

Die Funktionswerte $y$ können alle Zahlen annehmen:

$\mathbb{W}=\mathbb{R}\mathbb{W}=\mathbb{R}$

Eigenschaften

Jede Basisfunktion:

verläuft durch die Punkte $\left(0\middle|0\right)$ und $\left(1\middle|1\right)$ .
mit ungeraden n verläuft zudem durch den Punkt $\left(-1\middle|-1\right)$ .
ist streng monoton wachsend.

Darstellung

$n$ gerade

$\sqrt x,\ \sqrt[4]{x},\sqrt[6]{x},\ldots$

$n$ ungerade

$\sqrt[3]{x},\sqrt[5]{x},\sqrt[7]{x},\ldots$

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Hinweis: Beachte, wo sich die Graphen schneiden:

jede Basisfunktion läuft durch den Punkt $\left(1\middle|1\right)$  und $\left(0\middle|0\right)$ 
jede Basisfunktion mit n ungerade läuft durch den Punkt $\left(-1\middle|-1\right)$

Wertetabelle für

f(x)=\sqrt x

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$0$	$1$	$1.41..$	$1.73..$

Wertetabelle für

f(x)=\sqrt[3]{x}

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$0$	$1$	$1.25..$	$1.44..$

Allgemeine Wurzelfunktionen/-formel

Die allgemeine Wurzelfunktion (-formel) ist eine veränderte Form der Basisfunktion.

Formel

Die Basisfunktion wird mit den Parametern a, u und v verändert.

$f\left(x\right)=a\sqrt[n]{x-u}+v$

$a$ :	Streckungs-/Stauchungsfaktor
$u$ :	Verschiebung in $x$ -Achsenrichtung
$v$ :	Verschiebung in $y$ -Achsenrichtung
$P(u\|v)$ :	Startpunkt / Ursprung der Funktion

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

$n$ gerade

Der Term unter der Wurzel soll positiv sein: $\ x-u\geq0$

$\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq u}(x\geq u)$

$n$ ungerade

Es dürfen weiterhin alle Zahlen für $x$ eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

n

gerade

Der Wertebereich verschiebt sich mit $v (y\geq v$ ):

$\mathbb{W}=\mathbb{R}\geq v$

Der Wertebereich wird gespiegelt mit negativen $a (y\le v$ ):

$\mathbb{W}=\mathbb{R}\le v$

n

ungerade

Die Funktionswerte $y$ können weiterhin alle Zahlen annehmen:

$\mathbb{W}=\mathbb{R}$

Streckungs-/Stauchungsfaktor

$\left\|\mathbf{a}\right\|>\mathbf{1}$ : STRECKUNG IN Y-RICHTUNG	$\left\|\mathbf{a}\right\|<\mathbf{1}$ : STAUCHUNG IN Y-RICHTUNG


$a$ NEGATIV – SPIEGELUNG AN X-ACHSE

Verschiebung in x- und y-Achsenrichtung

$\mathbf{u}<\mathbf{0}$ : IN NEGATIVE X-RICHTUNG	$\mathbf{u}>\mathbf{0}$ : IN POSITIVE X-RICHTUNG

$\mathbf{v}<\mathbf{0}$ : IN NEGATIVE Y-RICHTUNG	$\mathbf{v}>\mathbf{0}$ : IN POSITIVE Y-RICHTUNG

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Potenz berechnen & Potenzgesetze

Teil 2

Potenzgesetze anwenden mit Beispielen

Abkürzung

Optional

Teil 3

Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Finaler Test

Erstelle ein kostenloses Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine Basisfunktion?

Potenzfunktionen der Form x^(1/2),x^(1/3),x^(1/4),… kann man als Basisfunktionen der Wurzelfunktion bezeichnen. Summiert man mehrere Potenzfunktionen aufeinander auf, so erhält man eine Polynomfunktion.

Ist die Wurzelfunktion eine Funktion?

Ja die Wurzelfunktion ist eine Funktion. Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion f^(-1) der Potenzfunktion f (für n∈N).

Wie sieht eine Wurzelfunktion aus?

Bei der Wurzelfunktion steht die Variable unter einer Wurzel. Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion f^(-1) der Potenzfunktion f (für n∈N).

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Potenzgesetze anwenden mit Beispielen

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Wurzelgleichung lösen und Definitionsbereich bestimmen

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Lineare Ungleichung

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Quadratische Ungleichungen lösen

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Lineare Funktionen

Funktionsbegriff: Definition & Darstellung

Lineare Funktion: Definition & Darstellung

Schnittpunkt von linearen Funktionen bestimmen

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Lineare Optimierung berechnen

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Schnittpunkte von Funktionen berechnen

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

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Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Wachstums- und Zerfallsprozesse berechnen

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Kreis und Gerade: Sekante, Tangente & Passante konstruieren

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Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

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Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

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Körper

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Pyramide

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Kugel: Definition & Formeln

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Lehrperson: Severina

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Zusammenfassung

Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Definition

Bei der Wurzelfunktion steht die Variable unter einer Wurzel.

$f\left(x\right)=x^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{x}$

Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion $f^{-1}$ der Potenzfunktion $f$ (für $n\in\mathbb{N}$ ):

f \rightarrow f^{-1}\\x^n \rightarrow \sqrt[n]{x}

Hinweis: Bei geraden Exponenten darf man nur positive $x-Werte$ der Potenzfunktion betrachten, sonst wäre die Umkehrzuordnung keine Funktion.

Basisfunktionen

Potenzfunktionen der Form $x^\frac{1}{2},x^\frac{1}{3},x^\frac{1}{4},\ldots$ kann man als Basisfunktionen der Wurzelfunktion bezeichnen.

f\left(x\right)=x^\frac{1}{2}=\sqrt x

f\left(x\right)=x^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{x}

f\left(x\right)=x^\frac{1}{4}=\sqrt[4]{x}

f\left(x\right)=\ \ldots

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

$n$ gerade

Es dürfen ausschliesslich positive Zahlen für $x$ ( $x\geq0$ ) eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}_0^+$

$n$ ungerade

Es dürfen alle Zahlen für $x$ eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

$n$ gerade

Die Funktionswerte $y$ sind immer positiv ( $y\geq0$ ):

$\mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+$

$n$ ungerade

Die Funktionswerte $y$ können alle Zahlen annehmen:

$\mathbb{W}=\mathbb{R}\mathbb{W}=\mathbb{R}$

Eigenschaften

Jede Basisfunktion:

verläuft durch die Punkte $\left(0\middle|0\right)$ und $\left(1\middle|1\right)$ .
mit ungeraden n verläuft zudem durch den Punkt $\left(-1\middle|-1\right)$ .
ist streng monoton wachsend.

Darstellung

$n$ gerade

$\sqrt x,\ \sqrt[4]{x},\sqrt[6]{x},\ldots$

$n$ ungerade

$\sqrt[3]{x},\sqrt[5]{x},\sqrt[7]{x},\ldots$

Hinweis: Beachte, wo sich die Graphen schneiden:

jede Basisfunktion läuft durch den Punkt $\left(1\middle|1\right)$  und $\left(0\middle|0\right)$ 
jede Basisfunktion mit n ungerade läuft durch den Punkt $\left(-1\middle|-1\right)$

Wertetabelle für

f(x)=\sqrt x

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$0$	$1$	$1.41..$	$1.73..$

Wertetabelle für

f(x)=\sqrt[3]{x}

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$0$	$1$	$1.25..$	$1.44..$

Allgemeine Wurzelfunktionen/-formel

Die allgemeine Wurzelfunktion (-formel) ist eine veränderte Form der Basisfunktion.

Formel

Die Basisfunktion wird mit den Parametern a, u und v verändert.

$f\left(x\right)=a\sqrt[n]{x-u}+v$

$a$ :	Streckungs-/Stauchungsfaktor
$u$ :	Verschiebung in $x$ -Achsenrichtung
$v$ :	Verschiebung in $y$ -Achsenrichtung
$P(u\|v)$ :	Startpunkt / Ursprung der Funktion

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

$n$ gerade

Der Term unter der Wurzel soll positiv sein: $\ x-u\geq0$

$\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq u}(x\geq u)$

$n$ ungerade

Es dürfen weiterhin alle Zahlen für $x$ eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

n

gerade

Der Wertebereich verschiebt sich mit $v (y\geq v$ ):

$\mathbb{W}=\mathbb{R}\geq v$

Der Wertebereich wird gespiegelt mit negativen $a (y\le v$ ):

$\mathbb{W}=\mathbb{R}\le v$

n

ungerade

Die Funktionswerte $y$ können weiterhin alle Zahlen annehmen:

$\mathbb{W}=\mathbb{R}$

Streckungs-/Stauchungsfaktor

$\left\|\mathbf{a}\right\|>\mathbf{1}$ : STRECKUNG IN Y-RICHTUNG	$\left\|\mathbf{a}\right\|<\mathbf{1}$ : STAUCHUNG IN Y-RICHTUNG


$a$ NEGATIV – SPIEGELUNG AN X-ACHSE

Verschiebung in x- und y-Achsenrichtung

$\mathbf{u}<\mathbf{0}$ : IN NEGATIVE X-RICHTUNG	$\mathbf{u}>\mathbf{0}$ : IN POSITIVE X-RICHTUNG

$\mathbf{v}<\mathbf{0}$ : IN NEGATIVE Y-RICHTUNG	$\mathbf{v}>\mathbf{0}$ : IN POSITIVE Y-RICHTUNG

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Was ist eine Basisfunktion?

Ist die Wurzelfunktion eine Funktion?

Ja die Wurzelfunktion ist eine Funktion. Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion f^(-1) der Potenzfunktion f (für n∈N).

Wie sieht eine Wurzelfunktion aus?

Bei der Wurzelfunktion steht die Variable unter einer Wurzel. Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion f^(-1) der Potenzfunktion f (für n∈N).

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Ähnliche Dreiecke

Trigonometrie

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Definition

Basisfunktionen

Definitionsbereich D\mathbb{D}D​

Wertebereich W\mathbb{W}W​

Eigenschaften

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Allgemeine Wurzelfunktionen/-formel

Formel

Definitionsbereich D\mathbb{D}D​

Wertebereich W\mathbb{W}W​

Streckungs-/Stauchungsfaktor

∣a∣>1\left|\mathbf{a}\right|>\mathbf{1}∣a∣>1​: STRECKUNG IN Y-RICHTUNG

∣a∣<1\left|\mathbf{a}\right|<\mathbf{1}∣a∣<1​: STAUCHUNG IN Y-RICHTUNG

aaa​ NEGATIV – SPIEGELUNG AN X-ACHSE

Verschiebung in x- und y-Achsenrichtung

u<0\mathbf{u}<\mathbf{0}u<0​: IN NEGATIVE X-RICHTUNG

u>0\mathbf{u}>\mathbf{0}u>0​: IN POSITIVE X-RICHTUNG

v<0\mathbf{v}<\mathbf{0}v<0​: IN NEGATIVE Y-RICHTUNG

v>0\mathbf{v}>\mathbf{0}v>0​: IN POSITIVE Y-RICHTUNG

Lerne mit Grundlagen

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Potenz berechnen & Potenzgesetze

Teil 2

Potenzgesetze anwenden mit Beispielen

Abkürzung

Teil 3

Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Finaler Test

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine Basisfunktion?

Ist die Wurzelfunktion eine Funktion?

Wie sieht eine Wurzelfunktion aus?

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Wurzel berechnen

Logarithmus

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Quadratische Funktion

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

$\left|\mathbf{a}\right|>\mathbf{1}$ : STRECKUNG IN Y-RICHTUNG

$\left|\mathbf{a}\right|<\mathbf{1}$ : STAUCHUNG IN Y-RICHTUNG

$a$ NEGATIV – SPIEGELUNG AN X-ACHSE

$\mathbf{u}<\mathbf{0}$ : IN NEGATIVE X-RICHTUNG

$\mathbf{u}>\mathbf{0}$ : IN POSITIVE X-RICHTUNG

$\mathbf{v}<\mathbf{0}$ : IN NEGATIVE Y-RICHTUNG

$\mathbf{v}>\mathbf{0}$ : IN POSITIVE Y-RICHTUNG

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

$\left|\mathbf{a}\right|>\mathbf{1}$ : STRECKUNG IN Y-RICHTUNG

$\left|\mathbf{a}\right|<\mathbf{1}$ : STAUCHUNG IN Y-RICHTUNG

$a$ NEGATIV – SPIEGELUNG AN X-ACHSE

$\mathbf{u}<\mathbf{0}$ : IN NEGATIVE X-RICHTUNG

$\mathbf{u}>\mathbf{0}$ : IN POSITIVE X-RICHTUNG

$\mathbf{v}<\mathbf{0}$ : IN NEGATIVE Y-RICHTUNG

$\mathbf{v}>\mathbf{0}$ : IN POSITIVE Y-RICHTUNG