Streuungsmasse: Spannweite, Varianz und mehr

Definition

Mit Streuungsmassen beschreibt man die Verteilung oder Streuung einer Datenmenge. Die Streuung kann anhand von verschiedenen Kriterien definiert werden. Die Streuungsmasse helfen beim Vergleich von Stichproben.

Spannweite	Differenz zwischen grösstem und kleinstem Wert
Interquartilsabstand	Differenz zwischen drittem und erstem Quartil
Standardabweichung	Mittlere Abweichung vom Mittelwert

Spannweite

Die Spannweite ist die Differenz zwischen der grössten und der kleinsten Zahl einer Stichprobe.

BERECHNUNG

1.

Sortiere die Zahlen in aufsteigender Reihenfolge.

2.

Ziehe den kleinsten Wert vom grössten Wert ab.

Das Ergebnis ist die Spannweite (R).

Beispiel - Sortierte Stichprobe:

Mathematik; Datenanalyse; BMS; Streuungsmasse: Spannweite, Varianz und mehr

Interquartilsabstand (IQR)

Der Interquartilsabstand ist die Differenz zwischen dem dritten und ersten Quartil. In diesem Bereich liegen 50% der Werte.

BERECHNUNG

1.	Sortiere die Zahlen in aufsteigender Reihenfolge.
2.	Berechne das erste und dritte Quartil.
3.	Berechne den Interquartilsabstand (IQR): $IQR=Q_3-Q_1$

Beispiel - Sortierte Stichprobe

Mathematik; Datenanalyse; BMS; Streuungsmasse: Spannweite, Varianz und mehr

Standardabweichung und Varianz

Die Standardabweichung ist die mittlere Abweichung von Daten zum Mittelwert $\bar{x}$ . Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung, die Standardabweichung die Quadratwurzel der Varianz.

STANDARDABWEICHUNG	VARIANZ
$s=\sqrt v=\sqrt{\frac{{(x_1-\bar{x})}^2+{(x_2-\bar{x})}^2+\ldots+{(x_n-\bar{x})}^2}{n-1}}$	$v=s^2=\frac{{(x_1-\bar{x})}^2+{(x_2-\bar{x})}^2+\ldots+{(x_n-\bar{x})}^2}{n-1}$

$x_1,x_2,...,x_n$ : Stichprobenwerte
$\bar{x}$ : Mittelwert der Strichprobe
$n$ : Anzahl Stichprobenwerte

EIGENSCHAFTEN

Bei normalverteilten Daten gilt:

68.3% der Daten liegen im Intervall $Mittelwert\pm Standardabweichung$
95.5% der Daten liegen im Intervall $Mittelwert\pm2\cdot Standardabweichung$
99.7% der Daten liegen im Intervall $Mittelwert\pm3\cdot Standardabweichung$

Hinweis: Normalverteilte Daten haben einen Häufungspunkt um den Mittelwert und sind symmetrisch um diesen verteilt.

Beispiel - Sortierte Stichprobe

Mathematik; Datenanalyse; BMS; Streuungsmasse: Spannweite, Varianz und mehr