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Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

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Zusammenfassung

Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

Regeln

Die folgenden Regeln gelten für trigonometrische Terme und werden häufig bei Aufgaben angewendet.



Quadratsumme von Sinus und Kosinus

sin(x)2+cos(x)2=1{sin(x)}^2+{cos(x)}^2=1sin(x)2+cos(x)2=1​​


Tangens zu Sinus und Kosinus

tan(x)=sin(x)cos(x)tan(x)=\frac{sin{\left(x\right)}}{cos{\left(x\right)}}tan(x)=cos(x)sin(x)​​​


Winkelverschiebung

sin(x)=cos(90°−x)cos(x)=sin(90°−x)tan(90°−x)=1tan(x)sin{\left(x\right)}=cos(90°-x)\\cos{\left(x\right)}=sin(90°-x)\\tan(90°-x)=\frac{1}{tan(x)}sin(x)=cos(90°−x)cos(x)=sin(90°−x)tan(90°−x)=tan(x)1​​​



Terme vereinfachen / Beweise

Oftmals sind folgende Schritte hilfreich beim Vereinfachen von trigonometrischen Termen.

Ziel ist es, dass der Term so kurz und einfach wie möglich wird oder dass man eine Gleichung beweist.


VORGEHEN
Beispiele

1.

Löse Winkelverschiebungen (90°−…90°- …90°−…​) auf.
​tan(90°−x)⋅cos(x)=1tan(x)⋅cos(x)tan(90°-x)\cdot cos(x)\\=\frac{1}{tan(x)}\cdot c o s{\left(x\right)}tan(90°−x)⋅cos(x)=tan(x)1​⋅cos(x)​​

2.

Ersetze den Tangens durch Sinus/Kosinus.
​tan(x)⋅sin(x)=sin(x)cos(x)⋅sin(x)tan{\left(x\right)}\cdot s i n{\left(x\right)}\\=\frac{sin\left(x\right)}{cos(x)}\cdot sin(x)tan(x)⋅sin(x)=cos(x)sin(x)​⋅sin(x)​​

3.

Ersetze Sinus- und Kosinus-Quadrate.
​sin(x)3+sin(x)⋅cos(x)2=sin(x)⋅(sin(x)2+cos(x)2)=sin(x)⋅1=sin(x)sin\left(x\right)^3+sin\left(x\right)\cdot cos\left(x\right)^2\\=sin\left(x\right)\cdot\left(sin\left(x\right)^2+cos\left(x\right)^2\right)\\=sin\left(x\right)\cdot1\\=sin\left(x\right)sin(x)3+sin(x)⋅cos(x)2=sin(x)⋅(sin(x)2+cos(x)2)=sin(x)⋅1=sin(x)​​


Tipp: Oftmals muss man die Binomischen Formeln oder auch die Regeln der Potenzrechnung anwenden.


Beispiel - Stimmt die folgende Gleichung?

tan(90°−x)2+1=1sin(x)2tan(90°-x)2+1=\frac{1}{sin(x)^2}tan(90°−x)2+1=sin(x)21​​​


Vereinfache die linke Seite der Gleichung:

Löse die Winkelverschiebung auf (tan(90°−x)=1tan(x)):tan(90°-x)=\frac{1}{tan(x)}):tan(90°−x)=tan(x)1​):​

1tan(x)2+1\frac{1}{{tan(x)}^2}+1tan(x)21​+1​​


Ersetze den Tangens (tan(x)=sin(x)cos(x)tan(x)=\frac{sin{\left(x\right)}}{cos{\left(x\right)}}tan(x)=cos(x)sin(x)​​):

=1(sin(x)cos(x))2+1=cos(x)2sin(x)2+1=\frac{1}{\left(\frac{sin{\left(x\right)}}{cos{\left(x\right)}}\right)^2}+1\\=\frac{{cos(x)}^2}{{sin(x)}^2}+1=(cos(x)sin(x)​)21​+1=sin(x)2cos(x)2​+1​​


Fasse die Brüche zusammen:

=cos(x)2sin(x)2+sin(x)2sin(x)2=cos(x)2+sin(x)2sin(x)2=\frac{{cos(x)}^2}{{sin(x)}^2}+\frac{{sin(x)}^2}{{sin(x)}^2}\\=\frac{{cos(x)}^2+{sin(x)}^2}{{sin(x)}^2}=sin(x)2cos(x)2​+sin(x)2sin(x)2​=sin(x)2cos(x)2+sin(x)2​​​


Ersetze sin(x)2+cos(x)2{sin(x)}^2+{cos(x)}^2sin(x)2+cos(x)2​ mit 1:

​=1sin(x)2‾=\underline{\frac{1}{{sin(x)}^2}}=sin(x)21​​​​


Die Gleichung stimmt:

tan(90°−x)2+1=1sin(x)2tan(90°-x)^2+1=\frac{1}{sin(x)^2}tan(90°−x)2+1=sin(x)21​​​



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechne ich den Tangens?

Der Tangens kann aus Sinus und Kosinus berechnet werden: tan⁡(x) = sin⁡(x)/cos⁡(x).

Wie berechne ich Sinus mal Sinus?

Nutze für die Berechnung von Sinus oder Kosinus Quadraten die hilfreiche Beziehung [sin⁡(x)]^2 + [cos⁡(x)]^2 = 1.

Wie kann ich den Sinus aus dem Kosinus berechnen?

Durch Winkelverschiebung: sin⁡(x)=cos⁡(90°-x) bzw. cos⁡(x)=sin⁡(90°-x).

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