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Mathematik

Mit Termen rechnen: Multiplikation & Division

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Mit Termen rechnen: Multiplikation & Division

Punktrechnung und Potenz 

Multiplikation und Division mit Variablen


Bei Termen, die folgende Voraussetzung erfüllen, darf multipliziert (⋅\cdot​) oder dividiert (÷\div​) werden. Hier können die Terme vereinfacht werden.



VORAUSSETZUNGEN

Gleiche Variable
a⋅aa\cdot a​ nicht a⋅ba\cdot b​


BERECHNUNG

Zahlen
  • Multipliziere oder dividiere die Zahlen vor den Variablen.

Variablen
  • Notiere die Variable einmal.
  • Addiere die Exponenten bei Multiplikation.
  • Subtrahiere die Exponenten bei Division.

Beispiele

​3a⋅4a2b÷(2a)=3⋅4÷2⏟6⋅a⋅a2÷a⏟a2⋅b=6a2b3a\cdot4a^2 b\div(2a)=\underbrace{3\cdot4\div2}_{6}\cdot \underbrace{a\cdot a^2 \div a}_{a^2 }\cdot b=6a^2 b​​

​6c⋅3a2c3÷(2ac2)=6⋅3÷2⏟9⋅a2÷a⏟a(2−1)=a1⋅c⋅c3÷c2⏟c(1+3−2=c2)=9ac26c\cdot 3a^2 c^3 \div (2ac^2 )=\underbrace{6\cdot 3\div 2}_{9}\cdot \underbrace{a^2 \div a}_{a^(2-1)=a^1 }\cdot \underbrace{c\cdot c^3 \div c^2 }_{c^(1+3-2}=c^2 )=9ac^2​​

Hinweis 1: Eine Hochzahl (auch Exponent genannt) gibt an, wie oft eine Zahl oder Variable mit sich selbst multipliziert wird. Beispiel: 

​a4=a⋅a⋅a⋅aa^4=a\cdot a \cdot a \cdot a​​

Hinweis 2: Multiplikationszeichen zwischen Variablen und zwischen einer Zahl und einer Variable darf man weglassen.

Hinweis 3: Variablen sortiert man meist alphabethisch.



Negative Vorzeichen bei Multiplikation und Division

Ungerade Anzahl negativer Vorzeichen

Der resultierende Term hat immer ein negatives Vorzeichen.


Multiplikation:

​x⋅(−y)=−xyx\cdot(-y)=-xy​​

​(−x)⋅y=−xy(-x)\cdot y=-xy​​

Division:

​x÷(−y)=−(x÷y)x\div (-y)=-(x\div y)​​

​(−x)÷y=−(x÷y)(-x)\div y=-(x\div y)​​


Gerade Anzahl negativer Vorzeichen

Der resultierende Term hat immer ein positives Vorzeichen.

​(−x)⋅(−y)=xy(-x)\cdot (-y)=xy​​

​(−x)÷(−y)=x÷y(-x)\div(-y)=x\div y​​



Terme vereinfachen

Mit den folgenden Schritten kann man Terme mit Multiplikationen und Divisionen von Variablen schnell vereinfachen.


VORGEHEN

1.

Vorzeichen bestimmen

2.

Zahlen und Variablen jeweils zusammenrechnen


Beispiel

​−3(4x)(−x2)(2y3)(−y)÷(−3xy3)-3(4x)(-x^2)(2y^3)(-y)\div(-3xy^3)​​

Vorzeichen bestimmen:

​3⋅4x⋅x2⋅2y3⋅y÷(3xy3)3\cdot 4x\cdot x^2\cdot 2y^3\cdot y\div(3xy^3)​​

Zahlen und Variablen zusammenfassen:

​3⋅4⋅2÷3⏟8⋅x⋅x2÷x⏟x2⋅y3⋅y÷y2⏟y2=8x2y‾\underbrace{3\cdot4\cdot 2\div3}_{8}\cdot \underbrace{x\cdot x^2 \div x}_{x^2 }\cdot \underbrace{y^3\cdot y \div y^2}_{y^2 }=\underline{8x^2 y}​​