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Erklärvideo

Lehrperson: Severina

Zusammenfassung


Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Definition

Eine Potenzfunktion mit negativen, ganzzahligen Exponenten hat die Form:      

f(x)=ax−n=axnf(x)=ax^{-n}=\frac{a}{x^n}f(x)=ax−n=xna​​​


Es gilt:

  • a∈Ra \in \R a∈R: reeller Koeffizient, a≠0a \ne 0a=0
  • n∈Nn \in \Nn∈N
  • f(0)f(0)f(0) ist nicht definiert.​​​


​

Ordnung einer Potenzfunktion

Die Ordnung gibt der Exponent der Potenzfunktion an.



Beispiel:

f(x)=12x4=12x−4f(x)=\frac{1}{2x^4}=\frac{1}{2}x^{-4}f(x)=2x41​=21​x−4​


Diese Funktion hat die Ordnung -4.


Basisfunktionen

Potenzfunktionen der Form x−1, x−2, x−3, ...x^{-1}, \ x^{-2}, \ x^{-3} , \ ...x−1, x−2, x−3, ...​  heißen Basisfunktionen mit negativen Exponenten. Sie enthalten einen Term ohne Koeffizienten.


​f(x)=x−1=1xf(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}f(x)=x−1=x1​​
​f(x)=x−2=1x2f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}f(x)=x−2=x21​​
​f(x)=x−3=1x3f(x)=x^{-3}=\frac{1}{x^3}f(x)=x−3=x31​​

​f(x)=...f(x)=...f(x)=...​​


​

Asymptote

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich eine ins Unendliche verlaufende Funktion nähert, ohne sie zu erreichen. Die Basisfunktionen mit negativen Exponenten haben eine senkrechte Asymptote bei x=0x=0x=0​  und eine waagerechte Asymptote bei y=0y=0y=0​ .



Beispiel - Die Asymptoten (schwarz) der Funktion f(x)=x−2f(x)=x^{-2}f(x)=x−2​

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Potenzfunktionen mit negativen Exponenten


​

Definitionsbereich D\mathbb{D}D​

In die Basisfunktionen mit negativen Exponenten können alle reellen Zahlen außer 0 eingesetzt werden:

​D=R\{0}\mathbb{D}=\R \backslash \{ 0 \}D=R\{0}


​​

Wertebereich  W\mathbb{W}W​

Ordnung ungerade

(Basisfunktionen)

Die yyy​ -Werte können beliebige reelle Zahlen außer Null annehmen:

​W=R\{0}\mathbb{W}= \R \backslash \{0\}W=R\{0}​​

Ordnung gerade

(Basisfunktionen)

Die yyy​ -Werte sind immer positiv und ungleich Null:

W=R+\mathbb{W}= \R^+W=R+​​


​

Darstellung

Exponent: gerade

x−2, x−4, x−6, ...x^{-2}, \ x^{-4}, \ x^{-6}, \ ...x−2, x−4, x−6, ...​​

Exponent: ungerade

x−1, x−3, x−5, ...x^{-1}, \ x^{-3}, \ x^{-5}, \ ...x−1, x−3, x−5, ...​​



​


  • achsensymmetrisch zur y-Achse:
f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x)​
​
  • punktsymmetrisch zum Ursprung:
​f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x)​​

Beispiel: f(x)=x−2f(x)=x^{-2}f(x)=x−2

​
​xxx​
​−3-3−3​

​−2-2−2​​
​−1-1−1​
​111​
​222​
​333​

​yyy​
​1/91/91/9​
​1/41/41/4​
​111​
​111​
​1/41/41/4​
​1/91/91/9​
Beispiel:  f(x)=x−3f(x)=x^{-3}f(x)=x−3

​

​xxx​​
​−3-3−3​
​−2-2−2​
​−1-1−1​
​111​
​222​
​333​

​yyy​
​−1/27-1 /27−1/27​
​−1/8-1/8−1/8​
​−1-1−1​
​111​
​1/81/81/8​
​1/271/271/27​




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Potenzgesetze anwenden mit Beispielen

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Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

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Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Art von Symmetrie weisen Potenzfunktionen mit einem geraden negativen Exponenten auf?

Potenzfunktionen mit einem geraden negativen Exponenten sind achsensymmetrisch zur y-Achse. Es gilt: f(x)=f(-x).

Welche Art von Symmetrie weisen Potenzfunktionen mit einem ungeraden negativen Exponenten auf?

Potenzfunktionen mit einem ungeraden negativen Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Es gilt: f(-x)=-f(x).

Wie ist die allgemeine Form einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten?

Eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten hat allgemein die Form f(x)=a•x^-n

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