Wurzelgleichung lösen und Definitionsbereich bestimmen

Wichtiges in Kürze

Eine Wurzelgleichung enthält mindestens ein Term mit der Variablen unter der Wurzel.

Beispiel:

 $$\sqrt{55-3x}-x=5$$​

Man muss zuerst den «Definitionsbereich» für die Variable bestimmen. Danach bestimmt man die Lösung der Gleichung.

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich $$\mathbb{D}$$​ ist begrenzt auf den Bereich, wo der Term unter der Wurzel positiv ist.

VORGEHEN

Gleichung lösen

Wurzelgleichungen benötigen ein spezielles Vorgehen:

VORGEHEN

Tipp: Bei mehreren Wurzeln muss man meist zuerst eine Wurzel alleine stellen und dann nach Schritt 2 die übrige Wurzel alleine stellen.

Beispiel 

$$\begin{aligned}\sqrt{55-3x}-x=5\end{aligned}$$​​

Definitionsbereich: $$x$$​-Bereich bestimmen, sodass: 

​$$\begin{aligned}55-3x&\geq0\\x&\le\frac{55}{3}\\\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\le\frac{55}{3}}\end{aligned}$$​​

Wurzel alleine stellen:

$$\begin{aligned}\sqrt{55-3x}=5+x\end{aligned}$$​​

Seiten quadrieren:

$$\begin{aligned}55-3x&=\left(5+x\right)^2\\55-3x&=x^2+10x+25\end{aligned}$$​​

Quadratische Gleichung lösen wie gewohnt:

$$\begin{aligned}0&=x^2+13x-30\\0&=\left(x-2\right)\left(x+15\right)\end{aligned}$$​​

Lösungen: $$x=2$$ und $$x=-15$$​​

Beide Werte werden vom Definitionsbereich nicht ausgeschlossen und sind somit die Lösungen der Gleichung.