Wurzelgleichung lösen und Definitionsbereich bestimmen

Wichtiges in Kürze

Eine Wurzelgleichung enthält mindestens ein Term mit der Variablen unter der Wurzel.

$\sqrt{55-3x}-x=5$

Man muss zuerst den «Definitionsbereich» für die Variable bestimmen. Danach bestimmt man die Lösung der Gleichung.

Der Definitionsbereich $\mathbb{D}$ ist begrenzt auf den Bereich, wo der Term unter der Wurzel positiv ist.

1.

Bestimme den Zahlenbereich von x für den die Terme unter den Wurzeln grösser oder gleich Null sind.

2.

Notieren den Definitionsbereich: $\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq\ Nicht\ erlaubter\ Zahlenbereich}$

Nutze $\le$ oder $\geq$

Wurzelgleichungen benötigen ein spezielles Vorgehen:

1.	Wurzel mit x alleine auf eine Seite bringen.
2.	Beide Seiten quadrieren. *Hinweis:* Beachte, dass die ganze Seite quadriert wird, nicht die einzelnen Terme. Oftmals benötigt man eine binomische Formel.
3.	Löse die Gleichung wie gewohnt.
4.	Vergleiche die Lösung mit dem Definitionsbereich. Die Lösung muss ein erlaubter $x$ -Wert sein. Ansonsten hat Gleichung keine Lösung.

Tipp: Bei mehreren Wurzeln muss man meist zuerst eine Wurzel alleine stellen und dann nach Schritt 2 die übrige Wurzel alleine stellen.

$\begin{aligned}\sqrt{55-3x}-x=5\end{aligned}$

Definitionsbereich: $x$ -Bereich bestimmen, sodass:

$\begin{aligned}55-3x&\geq0\\x&\le\frac{55}{3}\\\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\le\frac{55}{3}}\end{aligned}$

Wurzel alleine stellen:

$\begin{aligned}\sqrt{55-3x}=5+x\end{aligned}$

Seiten quadrieren:

$\begin{aligned}55-3x&=\left(5+x\right)^2\\55-3x&=x^2+10x+25\end{aligned}$

Quadratische Gleichung lösen wie gewohnt:

$\begin{aligned}0&=x^2+13x-30\\0&=\left(x-2\right)\left(x+15\right)\end{aligned}$

Lösungen: $x=2$ und $x=-15$

Beide Werte werden vom Definitionsbereich nicht ausgeschlossen und sind somit die Lösungen der Gleichung.