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Satzaufgaben mit quadratischer Funktion lösen

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Erklärvideo

Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Satzaufgaben mit quadratischer Funktion lösen

Hintergrund

Bei Satzaufgaben mit quadratischen Funktionen beschreibt die quadratische Funktion einen konkreten Zusammenhang.


Beispiele
​xxx​​
​yyy​​

Brücke

Distanz zum Anfang der Brücke

Höhe der Brücke

Gewinn

Stückzahl

Gewinn in Franken


Bei manchen Satzaufgaben ist die quadratische Funktion gegeben, bei manchen muss man diese bestimmen. Auf Basis der quadratischen Funktion muss man Punkte der Funktion bestimmen und in den Zusammenhang übersetzen.



Vorgehen mit gegebener Funktion

1.

Erstelle eine Skizze der quadratischen Funktion und bestimme Lage der Funktion im Koordinatensystem. Bestimme die Bedeutung der x-Achse und der y-Achse.

2.

Überlege, welche Punkte der Funktion die Aufgabenstellung beantworten.

TYPISCHE PUNKTE

ALLGEMEINE BEDEUTUNG

Beispiel - Brücke

Nullstellen

Anfang und Ende von etwas.

Anfang und Ende der Brücke

y-Achsenabschnitt

Startpunkt auf der y-Achse

 - 

Scheitelpunkt

Maximum oder Minimum

Höchster / tiefster Punkt der Brücke

y-Wert für ein bestimmtes 

x

Ergebnis bei einem bestimmen x-Wert

Höhe an einer Stelle x

x-Wert für ein bestimmtes 

y

Ergebnis bei einem bestimmen y-Wert

Stellen, an der die Brücke y hoch ist

 

3.

Bestimme die gesuchten Informationen mit Hilfe der Funktion.


Beispiel

Die Funktion f(x)=−0.005x2+0.6x−10f(x)=-0.005x^2+0.6x-10f(x)=−0.005x2+0.6x−10 beschreibt einen Brückenbogen. Die Strasse bildet die x-Achse. Die Werte von x und y sind Distanzen in Metern.


Bestimme:

a) Die Länge der Brücke.

b) Wo die Brücke die maximale Höhe erreicht und wie hoch die Brückenpfeiler dort sind.


Skizze:

Die x-Achse liegt auf der Strasse und beschreibt die Strecke.

Die y-Achse steht senkrecht dazu und beschreibt die Höhe über dem Boden.

Mathematik; Die quadratische Funktion; BMS; Satzaufgaben mit quadratischer Funktion lösen

a) Länge der Brücke = Abstand der Nullstellen der Funktion:


Nullstellen: 0=−0.005x2+0.6x−100=-0.005x^2+0.6x-100=−0.005x2+0.6x−10​

x1=−0.6+0.62−4⋅(−0.005)⋅(−10)2⋅(−0.005)=20x_1=\frac{-0.6+\sqrt{{0.6}^2-4\cdot(-0.005)\cdot(-10)}}{2\cdot(-0.005)}=20x1​=2⋅(−0.005)−0.6+0.62−4⋅(−0.005)⋅(−10)​​=20​​


x2=−0.6−0.62−4⋅(−0.005)⋅(−10)2⋅(−0.005)=100x_2=\frac{-0.6-\sqrt{{0.6}^2-4\cdot(-0.005)\cdot(-10)}}{2\cdot(-0.005)}=100x2​=2⋅(−0.005)−0.6−0.62−4⋅(−0.005)⋅(−10)​​=100​​


Die Brücke befindet sich zwischen 20m und 100m, ist also 80m lang.


b) Maximale Höhe = y-Wert des Scheitelpunktes:


Scheitelpunkt bestimmen: xsx_sxs​​-Wert des Scheitelpunktes ist in der Mitte der Nullstellen:

xs=x1+x22=20+1002=60x_s=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{20+100}{2}=60xs​=2x1​+x2​​=220+100​=60​​

ysy_sys​​-Wert bestimmen: f(60)=−0.005⋅602+0.6⋅60−10=8f\left(60\right)=-0.005\cdot{60}^2+0.6\cdot60-10=8f(60)=−0.005⋅602+0.6⋅60−10=8​


Der Scheitelpunkt ist S(60∣8)S(60|8)S(60∣8)​.

Der höchste Punkt liegt bei Meter 60m (40m nach Brückenstart).

Der Brückenpfeiler am höchsten Punkt ist 8m hoch.






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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Beispiel für eine quadratische Satzaufgabe?

Ein Brückenbogen wird mit einer quadratischen Funktion beschrieben. Was ist der höchste Punkt der Brücke?

Wie gehe ich bei Satzaufgaben mit quadratischen Funktionen vor?

1) Erstelle eine Skizze der quadratischen Funktion und bestimme die Lage der Funktion im Koordinatensystem. Bestimme die Bedeutung der x-Achse und der y-Achse. 2) Überlege, welche Punkte der Funktion die Aufgabenstellung beantworten. 3) Bestimme die gesuchten Informationen mit Hilfe der Funktion.

Was sind Satzaufgaben mit quadratischen Funktionen?

Bei Satzaufgaben mit quadratischen Funktionen beschreibt die quadratische Funktion einen konkreten Zusammenhang.

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