Satzaufgaben mit quadratischer Funktion lösen

Hintergrund

Bei Satzaufgaben mit quadratischen Funktionen beschreibt die quadratische Funktion einen konkreten Zusammenhang.

Beispiele

Bei manchen Satzaufgaben ist die quadratische Funktion gegeben, bei manchen muss man diese bestimmen. Auf Basis der quadratischen Funktion muss man Punkte der Funktion bestimmen und in den Zusammenhang übersetzen.

Vorgehen mit gegebener Funktion

Beispiel

Die Funktion $$f(x)=-0.005x^2+0.6x-10$$ beschreibt einen Brückenbogen. Die Strasse bildet die x-Achse. Die Werte von x und y sind Distanzen in Metern.

Bestimme:

a) Die Länge der Brücke.

b) Wo die Brücke die maximale Höhe erreicht und wie hoch die Brückenpfeiler dort sind.

Skizze:

Die x-Achse liegt auf der Strasse und beschreibt die Strecke.

Die y-Achse steht senkrecht dazu und beschreibt die Höhe über dem Boden.

a) Länge der Brücke = Abstand der Nullstellen der Funktion:

Nullstellen: $$0=-0.005x^2+0.6x-10$$​

$$x_1=\frac{-0.6+\sqrt{{0.6}^2-4\cdot(-0.005)\cdot(-10)}}{2\cdot(-0.005)}=20$$​​

$$x_2=\frac{-0.6-\sqrt{{0.6}^2-4\cdot(-0.005)\cdot(-10)}}{2\cdot(-0.005)}=100$$​​

Die Brücke befindet sich zwischen 20m und 100m, ist also 80m lang.

b) Maximale Höhe = y-Wert des Scheitelpunktes:

Scheitelpunkt bestimmen: $$x_s$$​-Wert des Scheitelpunktes ist in der Mitte der Nullstellen:

$$x_s=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{20+100}{2}=60$$​​

$$y_s$$​-Wert bestimmen: $$f\left(60\right)=-0.005\cdot{60}^2+0.6\cdot60-10=8$$​

Der Scheitelpunkt ist $$S(60|8)$$​.

Der höchste Punkt liegt bei Meter 60m (40m nach Brückenstart).

Der Brückenpfeiler am höchsten Punkt ist 8m hoch.