Satzaufgaben mit quadratischer Funktion lösen

Hintergrund

Bei Satzaufgaben mit quadratischen Funktionen beschreibt die quadratische Funktion einen konkreten Zusammenhang.

Beispiele

	$x$	$y$
Brücke	Distanz zum Anfang der Brücke	Höhe der Brücke
Gewinn	Stückzahl	Gewinn in Franken

Bei manchen Satzaufgaben ist die quadratische Funktion gegeben, bei manchen muss man diese bestimmen. Auf Basis der quadratischen Funktion muss man Punkte der Funktion bestimmen und in den Zusammenhang übersetzen.

Vorgehen mit gegebener Funktion

1.

Erstelle eine Skizze der quadratischen Funktion und bestimme Lage der Funktion im Koordinatensystem. Bestimme die Bedeutung der x-Achse und der y-Achse.

2.

Überlege, welche Punkte der Funktion die Aufgabenstellung beantworten.

TYPISCHE PUNKTE	ALLGEMEINE BEDEUTUNG	Beispiel - Brücke
Nullstellen	Anfang und Ende von etwas.	Anfang und Ende der Brücke
y-Achsenabschnitt	Startpunkt auf der y-Achse	-
Scheitelpunkt	Maximum oder Minimum	Höchster / tiefster Punkt der Brücke
y-Wert für ein bestimmtes x	Ergebnis bei einem bestimmen x-Wert	Höhe an einer Stelle x
x-Wert für ein bestimmtes y	Ergebnis bei einem bestimmen y-Wert	Stellen, an der die Brücke y hoch ist

3.

Bestimme die gesuchten Informationen mit Hilfe der Funktion.

Beispiel

Die Funktion $f(x)=-0.005x^2+0.6x-10$ beschreibt einen Brückenbogen. Die Strasse bildet die x-Achse. Die Werte von x und y sind Distanzen in Metern.

Bestimme:

a) Die Länge der Brücke.

b) Wo die Brücke die maximale Höhe erreicht und wie hoch die Brückenpfeiler dort sind.

Skizze:

Die x-Achse liegt auf der Strasse und beschreibt die Strecke.

Die y-Achse steht senkrecht dazu und beschreibt die Höhe über dem Boden.

Mathematik; Die quadratische Funktion; BMS; Satzaufgaben mit quadratischer Funktion lösen

a) Länge der Brücke = Abstand der Nullstellen der Funktion:

Nullstellen: $0=-0.005x^2+0.6x-10$

$x_1=\frac{-0.6+\sqrt{{0.6}^2-4\cdot(-0.005)\cdot(-10)}}{2\cdot(-0.005)}=20$

$x_2=\frac{-0.6-\sqrt{{0.6}^2-4\cdot(-0.005)\cdot(-10)}}{2\cdot(-0.005)}=100$

Die Brücke befindet sich zwischen 20m und 100m, ist also 80m lang.

b) Maximale Höhe = y-Wert des Scheitelpunktes:

Scheitelpunkt bestimmen: $x_s$ -Wert des Scheitelpunktes ist in der Mitte der Nullstellen:

$x_s=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{20+100}{2}=60$

$y_s$ -Wert bestimmen: $f\left(60\right)=-0.005\cdot{60}^2+0.6\cdot60-10=8$

Der Scheitelpunkt ist $S(60|8)$ .

Der höchste Punkt liegt bei Meter 60m (40m nach Brückenstart).

Der Brückenpfeiler am höchsten Punkt ist 8m hoch.