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Lineare Funktion: Definition & Darstellung

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Zusammenfassung

Ein Bild, das ClipArt enthält. Automatisch generierte Beschreibung

Lineare Funktion: Definition & Darstellung

Definition

Die lineare Funktion enthält eine Variable mit der höchsten Potenz 1. Die Funktion bildet im Graphen eine gerade Linie.



Funktionsgleichung

y=m⋅x+by=m\cdot x+by=m⋅x+b​​

mmm​ : Steigung

bbb​ : yyy-Achsenabschnitt


Beispiel

y=0.5x−1y=0.5x-1y=0.5x−1​​

Mathematik; Ganz einfach gerade; 3. Sek / Bez / Real; Lineare Funktion: Definition & Darstellung


Steigung

Die Steigung gibt die Änderung der yyy​-Wertes bei Erhöhung des xxx​-Wertes an.


m=A¨nderung in yA¨nderung in x=∆y∆xm=\frac{Änderung\ in\ y}{Änderung\ in\ x}=\frac{∆y}{∆x}m=A¨nderung in xA¨nderung in y​=∆x∆y​​​


Mathematik; Ganz einfach gerade; 3. Sek / Bez / Real; Lineare Funktion: Definition & Darstellung

m=∆y∆x=12m=\frac{∆y}{∆x}=\frac12m=∆x∆y​=21​​​


Tipp 1: Zeichne ein Steigungsdreieck und lese die Änderung in x und y ab.


Tipp 2: Bei m=0m=0m=0 ist die Gerade parallel zur xxx-Achse.


Beispiele

Positive Steigung: m>0m>0m>0

Mathematik; Ganz einfach gerade; 3. Sek / Bez / Real; Lineare Funktion: Definition & Darstellung


Negative Steigung: m<0m<0m<0​​

Mathematik; Ganz einfach gerade; 3. Sek / Bez / Real; Lineare Funktion: Definition & Darstellung



y-Achsenabschnitt

Wert auf der yyy​-Achse, bei dem die Gerade die yyy​-Achse schneidet.



Funktionsgleichung bestimmen

Anhand von ...


Steigung m und einem Punkt P

Die Steigung und ein Punkt der Gerade sind gegeben.


VORGEHEN

  1. Setze die Steigung mmm in die Funktionsgleichung ein: y=m⋅x+by=m\cdot x+by=m⋅x+b​
  2. Setze die Koordinaten des Punkts in die Funktionsgleichung ein und berechne den Wert von Achsenabschnitt bbb.


Beispiel​​

m=2,P(1∣−1)m=2, P(1|-1)m=2,P(1∣−1)​​

y=2⋅x+b−1=2⋅1+by=2\cdot x+b\\-1=2\cdot1+by=2⋅x+b−1=2⋅1+b​​

Achsenabschnitt:

 b=−3b=-3b=−3​

y=2⋅x−3y=2\cdot x-3y=2⋅x−3​​


Zwei Punkten P und Q

Zwei Punkte der Gerade sind gegeben.


Vorgehen

  1. Berechne die Steigung mmm​ mithilfe der Änderungen in xxx​- und yyy​-Richtung vom Punkt P zu Punkt Q: m=yQ−yPxQ−xPm=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}m=xQ​−xP​yQ​−yP​​​
  2. Setze die Steigung in die Funktionsgleichung ein: y=m⋅x+by=m\cdot x+by=m⋅x+b​
  3. Setze die Koordinaten des Punkts in die Funktionsgleichung ein und berechne den Wert von Achsenabschnitt bbb.


Beispiel

​P(1∣−1),Q(2∣2)P(1|-1), Q(2|2)P(1∣−1),Q(2∣2)​​

Steigung berechnen:

​m=2−(−1)2−1=3m=\frac{2-(-1)}{2-1}=3m=2−12−(−1)​=3​​

Steigung in die Funktionsgleichung einsetzen:

​y=3⋅x+by=3\cdot x+by=3⋅x+b​​

Koordinaten des Punkts in die Funktionsgleichung einsetzen und damit bbb berechnen:

​−1=3⋅1+bb=−4-1=3\cdot1+b\\b=-4−1=3⋅1+bb=−4​​

Funktionsgleichung aufstellen:

​y=3⋅x−4y=3\cdot x-4y=3⋅x−4​​


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was bedeutet m in der Funktionsgleichung einer linearen Funktion?

m steht für die Steigung der Geraden.

Welche Form hat die Funktion einer linearen Funktion?

y = mx + b

Was ist eine lineare Funktion?

In einer linearen Funktion hat die unabhängige Variable immer den Exponenten 1. Die Funktion bildet im Graphen eine gerade Linie.

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