Lineare Funktion: Definition & Darstellung

Definition

Die lineare Funktion enthält eine Variable mit der höchsten Potenz 1. Die Funktion bildet im Graphen eine gerade Linie.

Funktionsgleichung

$$y=m\cdot x+b$$​​

$$m$$​ : Steigung

$$b$$​ : $$y$$-Achsenabschnitt

Beispiel

$$y=0.5x-1$$​​

Steigung

Die Steigung gibt die Änderung der $$y$$​-Wertes bei Erhöhung des $$x$$​-Wertes an.

$$m=\frac{Änderung\ in\ y}{Änderung\ in\ x}=\frac{∆y}{∆x}$$​​

$$m=\frac{∆y}{∆x}=\frac12$$​​

Tipp 1: Zeichne ein Steigungsdreieck und lese die Änderung in x und y ab.

Tipp 2: Bei $$m=0$$ ist die Gerade parallel zur $$x$$-Achse.

Beispiele

Positive Steigung: $$m>0$$

Negative Steigung: $$m<0$$​​

y-Achsenabschnitt

Wert auf der $$y$$​-Achse, bei dem die Gerade die $$y$$​-Achse schneidet.

Funktionsgleichung bestimmen

Anhand von ...

Steigung m und einem Punkt P

Die Steigung und ein Punkt der Gerade sind gegeben.

VORGEHEN

1. Setze die Steigung $$m$$ in die Funktionsgleichung ein: $$y=m\cdot x+b$$​
   
2. Setze die Koordinaten des Punkts in die Funktionsgleichung ein und berechne den Wert von Achsenabschnitt $$b$$.

Beispiel​​

$$m=2, P(1|-1)$$​​

$$y=2\cdot x+b\\-1=2\cdot1+b$$​​

Achsenabschnitt:

 $$b=-3$$​

$$y=2\cdot x-3$$​​

Zwei Punkten P und Q

Zwei Punkte der Gerade sind gegeben.

Vorgehen

1. Berechne die Steigung $$m$$​ mithilfe der Änderungen in $$x$$​- und $$y$$​-Richtung vom Punkt P zu Punkt Q: $$m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$$​
   
2. Setze die Steigung in die Funktionsgleichung ein: $$y=m\cdot x+b$$​
3. Setze die Koordinaten des Punkts in die Funktionsgleichung ein und berechne den Wert von Achsenabschnitt $$b$$.

Beispiel

​$$P(1|-1), Q(2|2)$$​​

Steigung berechnen:

​$$m=\frac{2-(-1)}{2-1}=3$$​​

Steigung in die Funktionsgleichung einsetzen:

​$$y=3\cdot x+b$$​​

Koordinaten des Punkts in die Funktionsgleichung einsetzen und damit $$b$$ berechnen:

​$$-1=3\cdot1+b\\b=-4$$​​

Funktionsgleichung aufstellen:

​$$y=3\cdot x-4$$​​