Kreis & Kreiszahl: Definition, Formeln & Beispiele

Definition

Ein Kreis ist eine in sich geschlossene Linie, welche alle Punkte beschreibt, die gleich weit von einem gemeinsamen Mittelpunkt entfernt sind.

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Wichtige Grössen

Längen

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Der Durchmesser $d$ ist die maximale Distanz zweier Punkte auf dem Kreis.

$d=2\cdot r$

Der Radius $r$ ist die Distanz von der Kreislinie zum Mittelpunkt. Der Radius beträgt die Hälfte des Durchmessers.

$r=\frac{d}{2}$

Winkel

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Der Innenwinkel $\alpha$ eines Kreises ist $360\degree$ .

Kreiszahl $\pi$

Die Kreiszahl $\pi$ ist die mathematische Konstante, die als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser definiert ist.

$\pi=\frac{U}{d}=3.1415926$

Dieses Verhältnis ist für jeden Kreis konstant. Weiter ist die Zahl $\pi$ endlos lang, sie hat also endlos viele Stellen.

Formeln

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Umfang

Länge der Aussenlinie

$U=2\pi r=\pi d$

Fläche

Flächeninhalt des Kreises

$A=\pi r^2=\pi \frac{d^2}{4}$

Teilstücke eines Kreises

Manchmal ist es sinnvoll beziehungsweise notwendig einen Kreis in einzelne Teilstücke zu unterteilen und deren Fläche/ Umfang zu berechnen.

Tipp

Wenn du den Umfang oder die Fläche von Teilstücken berechnen willst, multipliziere den Umfang oder die Fläche des ganzen Kreises mit dem Anteil des gesuchten Teilstückes.

Ein Bild, das Zeichnung, Uhr enthält. Automatisch generierte Beschreibung

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Umfang und Fläche von komplexen Formen berechnen

1.	Teile die Form in einzelne Teilstücke ein: Kreise, Kreissektoren, Vierecksformen, rechtwinklige Dreiecke.
2.	Leite die wichtigen Längen der Teilstücke her.
3.	Berechne den gesuchten Umfang / Flächeninhalt jedes einzelnen Teilstücks. *Tipp:* Flächeninhalte kann man auch «ausschneiden», indem man diese subtrahiert.
4.	Summiere die Umfänge / Flächeninhalte, um den Gesamtwert zu erhalten.

Beispiel

Berechne die Fläche / den Umfang dieser Figur.

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1. Schritt: Teile die Form in einzelne Teilstücke ein und bestimme wichtige Längen der Teilstücke.

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2. Schritt: Berechne den Flächeninhalt/ Umfang der einzelnen Teilstücke und zähle alles zusammen.

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