Zinseszinses & unterjährige Verzinsung: Definition & Formeln

Zinseszins

Definition

Zinseszinsen sind Zinsen auf Zinsen. Werden Zinsen nicht ausbezahlt, werden sie dem Anfangskapital hinzugefügt und infolgedessen in der nächsten Periode mit verzinst. Üblicherweise wird nicht nach den eigentlichen Zinseszinsen gesucht, sondern nach dem über mehrere Jahre verzinsten Kapital.

Formeln

Berechnung des Kapitals, das für eine bestimmte Anzahl an Jahren verzinst wurde:

K_n=K_0{\cdot q}^n

oder

K_n=K_0{\cdot\left(1+\frac{p}{100\%}\right)}^n

q=1+\frac{p}{100\%}

$K_n$ : Kapital nach Jahren

$K_0$ : Anfangskapital

$q$ : Zinsfaktor

$p$ : Zinssatz in %

$n$ : Anzahl Jahre

Umwandlungen der Formel

Die Grundformel kann wie folgt nach jeder enthaltenen Grösse umgestellt werden:

ANFANGSKAPITAL	$K_0=\frac{K_n}{q^n}$ oder $K_0=\frac{K_n}{\left(1+\frac{p}{100\%}\right)^n}$
ZINSSATZ	$p=\left(\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}-1\right)\cdot100\%$
ANZAHL JAHRE	$n=\frac{\log{K_n-\log{K_0}}}{\log{q}}$

Grössen bestimmen

VORGEHEN

1.	Notiere die Formel für den gesuchten Wert.
2.	Finde den Wert für alle Variablen heraus.
3.	Setze die gegebenen Werte ein und berechne.

Beispiel - Ein Konto weist am Jahresanfang ein Guthaben von CHF 9 875.10 auf. Wie hoch war das Anfangskapital, welches vor 8 Jahren zu einem Zins 7.5% angelegt wurde?

Formel für das Anfangskapital:

$K_0=\frac{K_n}{\left(1+\frac{p}{100\%}\right)^n}$

Einsetzen:

$K_0=\frac{9\prime875.1}{\left(1+\frac{7.5\%}{100\%}\right)^8}$

Berechnen:

$K_0=\frac{9\prime875.1}{{1.075}^8}\approx\underline{5\prime537}$

Hinweis: Das Endresultat wird typischerweise auf 5 Rappen genau gerundet.

Unterjährige Verzinsung

Definition

Bei unterjähriger Verzinsung werden die Zinsen nicht am Ende des Jahres, sondern mehr als einmal pro Jahr in konstanten Intervallen (z.B. jedes Quartal, alle 8 Wochen) berechnet. Der Prozentsatz der Unterjährigen Zinssätze bezieht sich auf dieses jeweilige Intervall.

Formeln

Berechnung des Kapitals bei Unterjährigen Zinsen für eine bestimmte Anzahl an Jahren:

K_n=K_0\cdot q^{n\cdot m}

oder

K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{m\cdot100\%}\right)^{n\cdot m}

q=1+\frac{p}{m\cdot100\%}

K_n

: Kapital nach

n

$K_0$ : Anfangskapital

$q$ : Zinsfaktor

$p$ : Zinssatz in %

$n$ : Anzahl Jahre

$m$ : Anzahl Verzinsungsperioden pro Jahr

Umwandlungen der Formel

Die Grundformel kann wie folgt nach jeder enthaltenen Grösse umgestellt werden:

ANFANGSKAPITAL	$K_0=\frac{K_n}{q^{n\cdot m}}$
ZINSSATZ	$p=\left(\sqrt[n\cdot m]{\frac{K_n}{K_0}}-1\right)\cdot m\cdot100$
ANZAHL JAHRE	$n=\frac{\log{K_n-\log{K_0}}}{\log{\left(q\right)\cdot m}}$

Grössen bestimmen

VORGEHEN

1.	Notiere die Formel für den gesuchten Wert.
2.	Finde den Wert für alle Variablen heraus.
3.	Setze die gegebenen Werte ein und berechne.

Beispiel - Ein Kapital von CHF 50’000 ist auf CHF 61’646.30 angewachsen. Die Verzinsung erfolgte zu 7% mit monatlichem Zinstermin. Wie viele Jahre lang war das Kapital angelegt?

Formel für die Anzahl Jahre:

$n=\frac{log{K_n-log{K_0}}}{log{\left(q\right)\cdot m}}$

Einzusetzenden Werte:

$q=1+\frac{7}{12\cdot100}=1.0058\bar{3}\\K_n=61\prime646.3\\K_0=50\prime000\\m=12$

Werte einsetzen:

$n=\frac{log{61646.3-log{50000}}}{(log{1.0058\bar{3}})\cdot12\ }\approx\underline{3}$

Äquivalenter Zinssatz

Definition

Der äquivalente Zinssatz ist derjenige Zinssatz, der bei jährlicher Verzinsung mit gleichem Startkapital das gleiche Endkapital ergibt, wie der ursprüngliche Zinssatz bei unterjähriger Verzinsung.

Formel

ÄQUIVALENTER ZINSFAKTOR	$q_{\ddot{a}}=\left(1+\frac{p}{m\cdot100\%}\right)^m$	$q_ä$ : äquivalenter Zinsfaktor $p_ä$ : äquivalenter Zinssatz in % $p$ : Zinssatz in % $m$ : Anzahl Verzinsungsperioden pro Jahr
ÄQUIVALENTER ZINSSATZ	$p_{\ddot{a}}=\left(q_{\ddot{a}}-1\right)\cdot100\%$

VORGEHEN BEI TYPISCHEN AUFGABEN

1.	Notiere die Formel für den gesuchten Wert.
2.	Finde den Wert für alle Variablen heraus.
3.	Setze die gegebenen Werte ein und berechne.

Beispiel - Die Verzinsung eines Kapitals erfolgt zu 7% mit monatlichem Zinstermin. Wie gross ist der äquivalente Zinssatz?

Äquivalenter Zinsfaktor:

$q_{\ddot{a}}=\left(1+\frac{p}{m\cdot100\%}\right)^m=\left(1+\frac{7\%}{12\cdot100\%}\right)^{12}\approx1.0723$

Äquivalenter Zinssatz:

$p_{\ddot{a}}=\left(1.0723-1\right)\cdot100\%=\underline{7.23\%}$