Zinseszinsen sind Zinsen auf Zinsen. Werden Zinsen nicht ausbezahlt, werden sie dem Anfangskapital hinzugefügt und infolgedessen in der nächsten Periode mit verzinst. Üblicherweise wird nicht nach den eigentlichen Zinseszinsen gesucht, sondern nach dem über mehrere Jahre verzinsten Kapital.
Formeln
Berechnung des Kapitals, das für eine bestimmte Anzahl an Jahren verzinst wurde:
Kn=K0⋅qn oder Kn=K0⋅(1+100%p)n
q=1+100%p
Kn: Kapital nachJahren
K0: Anfangskapital
q: Zinsfaktor
p: Zinssatz in %
n: Anzahl Jahre
Umwandlungen der Formel
Die Grundformel kann wie folgt nach jeder enthaltenen Grösse umgestellt werden:
ANFANGSKAPITAL
K0=qnKn oder K0=(1+100%p)nKn
ZINSSATZ
p=(nK0Kn−1)⋅100%
ANZAHL JAHRE
n=logqlogKn−logK0
Grössen bestimmen
VORGEHEN
1.
Notiere die Formel für den gesuchten Wert.
2.
Finde den Wert für alle Variablen heraus.
3.
Setze die gegebenen Werte ein und berechne.
Beispiel - Ein Konto weist am Jahresanfang ein Guthaben von CHF 9 875.10 auf. Wie hoch war das Anfangskapital, welches vor 8 Jahren zu einem Zins 7.5% angelegt wurde?
Formel für das Anfangskapital:
K0=(1+100%p)nKn
Einsetzen:
K0=(1+100%7.5%)89′875.1
Berechnen:
K0=1.07589′875.1≈5′537
Hinweis: Das Endresultat wird typischerweise auf 5 Rappen genau gerundet.
Unterjährige Verzinsung
Definition
Bei unterjähriger Verzinsung werden die Zinsen nicht am Ende des Jahres, sondern mehr als einmal pro Jahr in konstanten Intervallen (z.B. jedes Quartal, alle 8 Wochen) berechnet. Der Prozentsatz der Unterjährigen Zinssätze bezieht sich auf dieses jeweilige Intervall.
Formeln
Berechnung des Kapitals bei Unterjährigen Zinsen für eine bestimmte Anzahl an Jahren:
Kn=K0⋅qn⋅m oder Kn=K0⋅(1+m⋅100%p)n⋅m
q=1+m⋅100%p
Kn: Kapital nach n
K0: Anfangskapital
q: Zinsfaktor
p: Zinssatz in %
n: Anzahl Jahre
m: Anzahl Verzinsungsperioden pro Jahr
Umwandlungen der Formel
Die Grundformel kann wie folgt nach jeder enthaltenen Grösse umgestellt werden:
ANFANGSKAPITAL
K0=qn⋅mKn
ZINSSATZ
p=(n⋅mK0Kn−1)⋅m⋅100
ANZAHL JAHRE
n=log(q)⋅mlogKn−logK0
Grössen bestimmen
VORGEHEN
1.
Notiere die Formel für den gesuchten Wert.
2.
Finde den Wert für alle Variablen heraus.
3.
Setze die gegebenen Werte ein und berechne.
Beispiel - Ein Kapital von CHF 50’000 ist auf CHF 61’646.30 angewachsen. Die Verzinsung erfolgte zu 7% mit monatlichem Zinstermin. Wie viele Jahre lang war das Kapital angelegt?
Formel für die Anzahl Jahre:
n=log(q)⋅mlogKn−logK0
Einzusetzenden Werte:
q=1+12⋅1007=1.00583ˉKn=61′646.3K0=50′000m=12
Werte einsetzen:
n=(log1.00583ˉ)⋅12log61646.3−log50000≈3
Äquivalenter Zinssatz
Definition
Der äquivalente Zinssatz ist derjenige Zinssatz, der bei jährlicher Verzinsung mit gleichem Startkapital das gleiche Endkapital ergibt, wie der ursprüngliche Zinssatz bei unterjähriger Verzinsung.
Formel
ÄQUIVALENTER ZINSFAKTOR
qa¨=(1+m⋅100%p)m
qa¨: äquivalenter Zinsfaktor
pa¨: äquivalenter Zinssatz in %
p: Zinssatz in %
m: Anzahl Verzinsungsperioden pro Jahr
ÄQUIVALENTER ZINSSATZ
pa¨=(qa¨−1)⋅100%
VORGEHEN BEI TYPISCHEN AUFGABEN
1.
Notiere die Formel für den gesuchten Wert.
2.
Finde den Wert für alle Variablen heraus.
3.
Setze die gegebenen Werte ein und berechne.
Beispiel - Die Verzinsung eines Kapitals erfolgt zu 7% mit monatlichem Zinstermin. Wie gross ist der äquivalente Zinssatz?
Äquivalenter Zinsfaktor:
qa¨=(1+m⋅100%p)m=(1+12⋅100%7%)12≈1.0723
Äquivalenter Zinssatz:
pa¨=(1.0723−1)⋅100%=7.23%
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was ist der Zinseszin?
Zinseszinsen sind Zinsen auf Zinsen. Werden Zinsen nicht ausbezahlt, werden sie dem Anfangskapital hinzugefügt und infolgedessen in der nächsten Periode mit verzinst. Überlicherweise wird nicht nach den eigentlichen Zinseszinsen gesucht, sonder nach derm über mehrere Jahre verzinsten Kapital.
