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Mitternachtsformel (abc-Formel) anwenden

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Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Mitternachtsformel (abc-Formel) anwenden

Die abc-Formel nennt man auch die "Mitternachtsformel". Mit ihr kann man die Lösung einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form berechnen.



Lösung der allgemeinen Form

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0​:



Diskriminante

Die Diskriminante D=b2−4acD=b^2-4acD=b2−4ac​ ist der Term unter der Wurzel der abc-Formel.


EIGENSCHAFTEN

Die Diskriminante gibt an, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat:

  • D>0:D>0: D>0: Zwei Lösungen x1x_1x1​​ und x2x_2x2​​.
  • D=0:D=0: D=0: Eine Lösung x=x1=x2x=x_1=x_2x=x1​=x2​​.
  • D<0:D<0:D<0: Keine Lösung.

​

​

Gleichung lösen mit der abc-Formel

VORGEHEN

1.

Bilde eine Nullgleichung.

2.

Sortiere den Term: ax2+bx+c=0{ax}^2+bx+c=0ax2+bx+c=0​

3.

Wende die abc-Formel an und berechne die Lösungen.

x1=−b+b2−4ac2ax_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}x1​=2a−b+b2−4ac​​​ und x2=−b−b2−4ac2ax_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}x2​=2a−b−b2−4ac​​​

Tipp: Beachte die Vorzeichen von a, b und c.


Beispiel

2x2−5x+3=02x^2-5x+3=02x2−5x+3=0​​


abc-Formel:

a=2,b=−5,  c=3a=2, b=-5,\ \ c=3a=2,b=−5,  c=3​


x1=+5+(−5)2−4⋅2⋅32⋅2x1=+5+25−244x1=+5+14x_1=\frac{+5+\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot2\cdot3}}{2\cdot2}\\x_1=\frac{+5+\sqrt{25-24}}{4}\\x_1=\frac{+5+1}{4}x1​=2⋅2+5+(−5)2−4⋅2⋅3​​x1​=4+5+25−24​​x1​=4+5+1​​ und x2=+5−(−5)2−4⋅2⋅32⋅2x2=+5−25−244x2=+5−14x_2=\frac{+5-\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot2\cdot3}}{2\cdot2}\\x_2=\frac{+5-\sqrt{25-24}}{4}\\x_2=\frac{+5-1}{4}x2​=2⋅2+5−(−5)2−4⋅2⋅3​​x2​=4+5−25−24​​x2​=4+5−1​​




Zwei Lösungen:

 x1=32x_1=\frac{3}{2}x1​=23​​ und x2=1x_2=1x2​=1​​




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann verwendet man die abc-Formel bzw. Mitternachtsformel?

Man abc-Formel (auch genannt "Mitternachtsformel") zum Lösen von quadratischen Gleichungen.

Wie verwendet man die abc-Formel bzw. Mitternachtsformel?

Bilde zuerst eine Nullgleichung. Sortiere danach den Term nach a, b und c: ax^2+bx+c=0. Setze die Werte für a, b und c in die abc-Formel bzw. Mitternachtsformel ein und berechne die Lösungen.

Was ist die Diskriminante?

Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel der abc-Formel bzw. Mitternachtsformel: D=b^2-4ac

Was ist die abc-Formel?

Die pq-Formel nennt man auch die "Mitternachtsformel". Mit ihr kann man die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform berechnen.

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