Lineare Funktion: Definition & Darstellung

Definition Funktion allgemein

Eine Funktion ordnet jedem $$x$$​-Wert genau einen $$y$$​-Wert zu.

Darstellungsformen

TABELLE

Die Tabelle stellt die zugehörigen $$y$$​-Werte und $$x$$​-Werte dar.

Beispiel

 $$x=2$$​​

Ablesen:

 $$\underline{y=3}$$​​

FORMELN (TERM)

Berechne den zugehörigen $$y$$​-Wert eines $$x$$​-Wertes indem Du den $$x$$​-Wert in den Term einsetzt.

$$y=2x-1$$​​

Beispiel

 $$x=2$$​​

Ausrechnen:

$$y=2\cdot2-1=\underline{3}$$​​

Graph

Du kannst auch am Graphen den zugehörigen $$y$$​-Wert eines $$x$$​-Wertes ablesen.

Beispiel

 $$x=2$$​​

Ablesen:

$$\underline{y=3}$$​​

Lineare Funktion

Die lineare Funktion ist im Graphen eine gerade Linie.

Funktionsgleichung

$$y=m\cdot x+b$$​​

$$m$$​ = Steigung

​$$y$$​ = y-Achsenschnittpunkt

Um die Funktionsgleichung aufzustellen benötigst Du Zahlen für $$m$$ und $$b$$.

Steigung

Gibt die Änderung des $$y$$​-Wertes bei Erhöhung des $$x$$​-Wertes an:

$$m=\frac{Änderung\ y}{Erhöhung\ von\ x}= \frac{\Delta y}{\Delta x}$$​​

Tipp: Zeichne ein Steigungsdreieck

y-Achsenabschnitt

Startwert der Geraden auf der $$y$$​-Achse. Wert auf der $$y$$​-Achse, bei dem die Gerade die sie schneidet.

Beispiele

Positive Steigung ($$m$$ ist positiv):

Negative Steigung ($$m$$ ist negativ):

Funktionsgleichung anhand eines Graphen aufstellen

VORGEHEN

1. ​$$y$$​-Achsenschnittpunkt $$b$$​ bestimmen: Bestimme den Schnittpunkt mit der $$y$$​-Achse.
   
2. Steigung $$m$$​: Wähle zwei Punkte auf der Geraden. Zeichne ein Steigungsdreieck ein. Berechne die Steigung: $$m=\frac{Änderung\ y}{Erhöhung\ von\ x}= \frac{\Delta y}{\Delta x}$$.
3. In die Funktionsgleichung einsetzen: $$y=m\cdot x+b$$.

Gerade zeichnen

Aus zwei Punkten

Vorgehen

1. Zeichne beide Punkte ein.
   
2. Verbinde die Punkte mit einer Linie.

Anhand einer Geradengleichung

Vorgehen

1. ​Zeichne den $$y$$​-Achsenschnittpunkt ein.
   
2. Erstelle ein Steigungsdreieck, ausgehend vom $$y$$​-Achsenschnittpunkt.
   

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