Spezielle Funktionen: Pauschalgebühr & Mengenrabatt

Pauschalgebühr

Definition

Unter Pauschalgebühr versteht man den zu zahlenden Geldbetrag, der über eine gewissen Stückmenge (Pauschalmenge) gleich ist. Wird diese Pauschalmenge überschritten, kommen weitere leistungsabhängige Stückkosten dazu.

Beispiel: Handytarif

Für die ersten 100 Minuten (Pauschalmenge) zahlt man pauschal 10 CHF (Pauschalgebühr).

Für jede weitere Minute zahlt man 5 Rappen obendrauf.

Hinweis: Je nach Situation sind Pauschalgebühren Teil von Kosten oder Teil vom Erlös. In dieser Zusammenfassung wird die Pauschalgebühr anhand der Kostenfunktion erklärt.

Funktionsgleichung

Eine Funktionsgleichung mit Pauschalgebühr hat zwei Intervalle:

$$q_P$$​: Pauschalgebühr, $$m_k$$​: Variable Kosten, $$x^*$$​: Pauschalmenge

MATHEMATISCHE INTERVALL-SCHREIBWEISE:

$$y=\left\{{q_P\atop m_k\cdot(x-x^\ast)+q_P}\right.{\ \ \ \ \ \ \ \ \ f\ddot{u}r\ 0\le x\le x^\ast\atop f\ddot{u}r\ x>x^\ast}$$​​

Funktionsgleichung aufstellen 

VORGEHEN

Bei gegebenen Werten für:

• Pauschalgebühr: $$q_p$$​
• Pauschalmenge $$x^*$$​
• und leistungsabhängigen Stückkosten: $$m_k$$​

Beispiel: Die monatliche Pauschalgebühr bei einem Mobilfunkanbieter beträgt 25 Franken. Darin eingeschlossen sind 120 Minuten Telefonie. Bei Überschreiten dieser Pauschalmenge kostet jede weitere Gesprächsminute 15 Rappen.

Intervalle:

Intervall 1: Pauschalgebühr für 120 Minuten oder weniger $$0\le x\le120$$​ 

Intervall 2: Pauschalgebühr für mehr als 120 Minuten $$x>120$$​

Kostenfunktionen:

Intervall 1: $$y=25$$​

Intervall 2: $$y=0.15\cdot(x-120)+25$$​

Mathematische Intervall-Schreibweise:

$$y=\left\{{25\atop0.15\cdot(x-120)+25}\right.{\ \ \ \ \ \ \ \ \ f\ddot{u}r\ 0\le x\le120\atop f\ddot{u}r\ x>120}$$​​

Mengenrabatt

Definition

Wenn der Stückpreis eines Produkts ab einer gewissen Menge abnimmt, spricht man von Mengenrabatt. Dabei kann man zwei Fälle unterscheiden. 

• Mengenrabatt über die gesamte Menge: Ab einer Stückzahl $$x^*$$​ wird der Preis auf alle gekauften Stücke gesenkt. 
• Mengenrabatt für Mehrexemplare ab einer bestimmten Menge: Ab einer Stückzahl $$x^*$$​ wird der Preis auf alle zusätzlichen Stück gesenkt. 

Hinweis: Je nach Situation sind Mengenrabatte Teil von Kosten oder Teil vom Erlös. In dieser Zusammenfassung werden Mengenrabatte anhand der Erlösfunktion erklärt.

Mengenrabatt über die gesamte Menge

FUNKTIONSGLEICHUNG

Die Erlösfunktion mit Mengenrabatt über die gesamte Menge hat zwei Intervalle:

MATHEMATISCHE INTERVALL-SCHREIBWEISE:

$$y=\left\{{m_p\cdot x\atop m_p^\ast\cdot x}\right.{\ \ \ \ \ \ \ \ \ f\ddot{u}r\ 0\le x<x^\ast\atop f\ddot{u}r\ x\geq x^\ast}$$​​

Günstiger bei höherer Stückzahl

Bei diesem Fall gibt es eine Stückzahl, ab der man als Käufer mehr kaufen sollte, um günstiger einzukaufen. Die Kosten für eine höhere Stückzahl mit Rabatt sind tiefer als die tiefere Stückzahl ohne Rabatt.

BERECHNUNG DER STÜCKZAHL AB DER SICH EINE HÖHERE STÜCKZAHL LOHNT

Beispiel: Ein Produkt kostet CHF 10. Ab 60 Stück wird ein Mengenrabatt von 25% auf alle Exemplare gewährt. 

Erlösfunktion mit und ohne Mengenrabatt:

ohne Mengenrabatt: $$y=10x$$​

mit Mengenrabatt: $$y=10\cdot75\%\cdot x=7.5x$$​

Intervalle aufstellen:

$$y=\begin{cases} 10x &\text{für}\ x <60 \\ 7.5x &\text{für}\ x≥60\end{cases}$$​​

Erlös im zweiten Intervall am Punkt $$x^*$$​:

$$y=7.5\cdot60=450$$​​

Mit Erlösfunktion des ersten Intervalls gleichsetzen:

$$450=10x$$​​

Nach $$x$$​ auflösen: 

$$x=\frac{450}{10}=45$$​​

Grafische Darstellung:

Die Menge von 45 Stück bildet die untere Grenze, 60 Stück die obere Grenze der Stückzahlen, die ohne Mengenrabatt teurer sind als 60 Stück mit Mengenrabatt. Für rationale Konsumenten machen Mengen in diesem Intervall also keinen Sinn. Als Reaktion darauf muss der Preis für Mengen in diesem Intervall also auf den Erlös von 60 Stück mit Mengenrabatt, also auf 450, normiert werden:

$$y=\begin{cases} 10x &\text{für}\ x\le45 \\ 450 &\text{für}\ 45<x<60\\ 7.5x &\text{für}\ x\geq60\end{cases}$$​​

Grafische Darstellung:

Mengenrabatt für Mehrexemplare ab einer bestimmten Menge 

FUNKTIONSGLEICHUNG

Die Erlösfunktion bei Mengenrabatt für Mehrexemplare ab einer bestimmten Menge hat zwei Intervalle. Im ersten Intervall wird der Preis $$m_p$$​ ohne Mengenrabatt bis zur festgelegten Stückzahl $$x^*$$​ abgebildet. 

Im zweiten Intervall wird der Preis $$m_p$$​ ohne Mengenrabatt für die Stücke bis $$x^*$$​, der Preis $$m_p^*$$​ mit Mengenrabatt für die Stückzahl ab $$x^*$$​ dargestellt. Dafür wählt man eine gewöhnliche lineare Funktion.

$$y=\begin{cases} m_px &\text{für}\ 0\le x<x^\ast \\ 0\le x<x^\ast &\text{für}\ x\geq x^\ast\end{cases}$$​​

VORGEHEN UM DIE FUNKTIONSGLEICHUNG AUFZUSTELLEN

Bei gegebenen Werten für:

• Preis mit Mengenrabatt: $$m_p^*$$​
• Preis ohne Mengenrabatt: $$m_p$$​
• Stückzahl, ab der Mengenrabatt gewährt wird: $$x^*$$​

Beispiel: Ein Produkt kostet CHF 10. Ab 60 Stück wird ein Mengenrabatt von 50% auf alle zusätzlichen Exemplare gewährt. 

Intervalle aufstellen:

$$y=\begin{cases} ... &\text{für}\ 0\le x\le60\\ ... &\text{für}\ x\geq60\end{cases}$$​​

Erlösfunktion erstellen:

$$y=\begin{cases} 10x &\text{für}\ 0\le x\le60 \\ 5\cdot\left(x-60\right)+10\cdot60 &\text{für}\ x\geq60\end{cases}$$​​

Grafische Darstellung