Quadratische Gleichungen lösen

Definition

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen einer Variablen, deren höchster Exponent $$2$$​ ist.

​$$4x^2+3x=5-2x$$​​

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Formen

Allgemeine Form

​$$ax^2+bx+c=0$$​​

​$$ax^2$$​: quadratischer Term ($$a \ne 0$$​)

​$$bx$$​: linearer Term

​$$c$$​: konstanter Term

ax2​​

Hinweis:

$$b=0$$: $$ax^2+c=0$$ ist eine reinquadratische Gleichung.​

$$b \ne 0$$​: $$ax^2+bx+c=0$$ ist eine gemischtquadratische Gleichung.​

Begriffe

Koeffizienten sind: $$a, b, c, p$$​ und $$q$$​.

Variablen sind unbekannte Werte, die meistens mit $$x$$​ bezeichnet werden.

Normalform

​$$x^2+px+q=0$$​​

​$$x^2$$​: quadratischer Term ohne Koeffizienten

​$$px$$​: linearer Term ($$p=\frac{b}{a}$$​)

​$$q$$​: konstanter Term ($$q=\frac{c}{a}$$​)

Lösungsmethoden

Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben.

Je nach Typ einer quadratischen Gleichung empfiehlt sich eine andere Lösungsmethode.

Reinquadratische Gleichung:

​$$ax^2+c=0$$​​

Empfohlene Lösungsmethode ist die direkte Berechnung.

Normalform mit $$q=0$$ oder allgemeine Form mit $$c=0$$​.

​$$x^2+px=0$$​​

Empfohlene Lösungsmethode ist die Faktorzerlegung (Ausklammern).

Normalform oder allgemeine Form:

​$$x^2+px+q=0$$​ oder $$ax^2+bx+c=0$$​​

​Empfohlene Lösungsmethoden sind: pq-Formel, abc-Formel (Mitternachtsformel), quadratische Ergänzung, Faktorzerlegeung (binomische Formel oder Zweiklammeransatz).

Hinweis: Die Lösungen jeder quadratischen Gleichung lassen sich mit der Mitternachtsformel (pq-Formel oder abc-Formel) bestimmen.

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