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Zusammenfassung

Quadratische Ungleichungen lösen

Definition

Quadratische Ungleichungen sind Ungleichungen, bei denen der grösste Exponent der Variable 2 ist.

Quadratische Ungleichungen löst man wie quadratische Gleichungen. Auf Basis der Lösung der quadratischen Gleichung bestimmt man die Lösungsmenge.


VORGEHEN

1.

Ersetze das Ungleichzeichen durch ein Gleichzeichen.

2.

Löse die quadratische Gleichung.

3.

Bestimme mögliche Lösungsintervalle für xxx​:

  • Zwei Lösungen - Drei Intervalle: (1) Links, (2) zwischen und (3) rechts von den Nullstellen.
  • Eine Lösung – Zwei Intervalle: (1) Links und (2) rechts von den Nullstellen.
  • Keine Lösung – Ein Intervall: Alle Zahlen.

4.

Prüfe jedes Intervall: Wähle jeweils eine beliebige Zahl aus dem Intervall und überprüfe, ob diese die Ungleichung erfüllt.

5.

Bestimme die Lösungsmenge L\mathbb{L}L​:

Kombiniere die Intervalle, die die Ungleichung erfüllen.

(Hinweis: Das Zeichen  bedeutet «oder».)

L={x∈R|Intervall 1∨Intervall 2}\mathbb{L}=\left\{x\in\mathbb{R}\middle| I n t e r v a l l\ 1\vee I n t e r v a l l\ 2\right\}L={x∈R∣Intervall 1∨Intervall 2}​​


Beispiel

x2−2x−1>2x^2-2x-1>2x2−2x−1>2​​


Quadratische Gleichung:

x2−2x−1=2x^2-2x-1=2x2−2x−1=2​​


Lösungen:

x1=−1x_1=-1 x1​=−1​ und x2=3x_2=3x2​=3​​


Möglichen Lösungsintervalle:

​L1=(−∞,−1)L2=(−1,3)L3=(3,∞)\mathbb{L}_1= \left(-\infty,-1\right)\\\mathbb{L}_2= \left(-1,3\right)\\\mathbb{L}_3= (3,\infty)L1​=(−∞,−1)L2​=(−1,3)L3​=(3,∞)​​


Überprüfung der Lösungsintervall, mit beliebigen Werten:

L1:Pru¨fe−2(−2)2−2(−2)−1=7>2Erfu¨llt!L2:Pru¨fe0(0)2−2(0)−1=−1>2Nichterfu¨llt!L3:Pru¨fe4(4)2−2(4)−1=7>2Erfu¨llt!\mathbb{L}_1: Prüfe -2 \left(-2\right)^2-2\left(-2\right)-1=7>2 Erfüllt!\\\mathbb{L}_2: Prüfe 0 \left(0\right)^2-2\left(0\right)-1=-1>2 Nicht erfüllt!\\\mathbb{L}_3: Prüfe 4 \left(4\right)^2-2\left(4\right)-1=7>2 Erfüllt!L1​:Pru¨fe−2(−2)2−2(−2)−1=7>2Erfu¨llt!L2​:Pru¨fe0(0)2−2(0)−1=−1>2Nichterfu¨llt!L3​:Pru¨fe4(4)2−2(4)−1=7>2Erfu¨llt!​​


Lösungsmenge:

L={x∈R|(−∞<x<−1)∨(3<x<∞)}\mathbb{L}=\left\{x\in\mathbb{R}\middle|\left(-\infty<x<-1\right)\vee\left(3<x<\infty\right)\right\}L={x∈R∣(−∞<x<−1)∨(3<x<∞)}​



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Teil 1

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Relationszeichen kann eine Ungleichung haben?

Eine Ungleichung kann 4 verschiedene Relationszeichen haben: grösser, grösser gleich, kleiner und kleiner gleich.

Wie kann ich quadratische Ungleichungen lösen?

Du kannst quadratische Ungleichungen lösen, indem Du zuerst die zugehörige quadratische Gleichung löst und auf dieser Grundlage die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung bestimmst.

Was ist eine quadratische Ungleichung?

Eine quadratische Ungleichung ist eine Ungleichung, bei der der höchste Exponent der Unbekannten eine 2 ist.

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