In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem spitzen Winkelhaben die Seiten folgende Bezeichnungen:
Ankathete zuα
Kathetebanliegend zum Winkelα
Gegenkathete zuα
Katheteαgegenüber vom Winkelα
Hypotenuse
Seitec gegenüber vom rechten Winkel
Hinweis 1: Katheten sind die Dreieckseiten, die am rechten Winkel anliegen.
Hinweis 2: Beachte, dass im rechtwinkligen Dreieck immer der Satz des Pythagoras gilt:
Kathete2+Kathete2=Hypothenuse2
Hinweis 3: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der nicht rechtwinkligen Winkel 90°.
Sinus und Kosinus
Definition
Sinus (sin) und Kosinus (cos) beschreiben Zusammenhänge von Seitenverhältnissen und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks.
Auf Basis von zwei Seitenlängen oder einer Seitenlänge und einem Winkel kann man alle fehlenden Winkel und Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen.
Sinus
Verhältnis zwischen Gegenkathete und Hypotenuse und dem Eckwinkel:
sin(α)=HypotenuseGegenkathetevonα
Arkussinus
Der Arkussinus berechnet für ein gegebenes Verhältnis (von Gegenkathete vonαzur Hypotenuse) den Winkelα.sin−1ist die Umkehrfunktion von sin.
α=sin−1(HypotenuseGegenkathetevonα)
Kosinus
Verhältnis zwischen Ankathete und Hypotenuse und dem Eckwinkel:
cos(α)=HypotenuseAnkathetevonα
Arkuskosinus
Der Arkuskosinus berechnet für ein gegebenes Verhältnis (von Ankathete vonαzur Hypotenuse) den Winkelα.cos−1ist die Umkehrfunktion von cos.
α=cos−1(HypotenuseAnkathetevonα)
Beispiel - Winkelundberechnen.
Hypotenuse mit dem Pythagoras:
32+42cm=5cm
Winkelmit dem Sinus:
sin(α)=HypGeg=53
Arkussinus:
α=sin−1(53)=36.9°
Winkelγmit dem Kosinus:
cos(γ)=HypAn=53
Arkuskosinus:
γ=cos−1(53)=53.1°
Hinweis: Man hätte auch anderes vorgehen und zudem die Winkelsumme von 180° nutzen können.
Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus
Folgende Formel helfen beim Vereinfachen von Termen und Auflösen von Gleichungen.
Quadratsumme
sin(x)2+cos(x)2=1
Winkelverschiebung
sin(x)=cos(90°−x)cos(x)=sin(90°−x)
Werte von Sinus und Kosinus
Teils ist verlangt, die Werte von Sinus und Kosinus für bestimmte Winkel zu kennen.
Sinus (sin) und Kosinus (cos) beschreiben Zusammenhänge von Seitenverhältnissen und Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks. Auf Basis von zwei Seitenlängen oder einer Seitenlänge und einem Winkel kannst Du alle fehlenden Winkel und Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen.
Was berechnet man mit dem Sinus?
Der Sinus beschreibt das Verhältnis zwischen Gegenkathete, Hypotenuse und dem Eckwinkel: sin(α)=(Gegenkathete von α)/Hypotenuse.
Was rechnet man mit dem Kosinus aus?
Der Kosinus beschreibt das Verhältnis zwischen Ankathete und Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck: cos(α)=(Ankathete von α)/Hypotenuse.