Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte 

Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse

Definition

In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem spitzen Winkel  haben die Seiten folgende Bezeichnungen:

Hinweis 1: Katheten sind die Dreieckseiten, die am rechten Winkel anliegen.

Hinweis 2: Beachte, dass im rechtwinkligen Dreieck immer der Satz des Pythagoras gilt: 

$$Kathete^2+Kathete^2=Hypothenuse^2$$​​

Hinweis 3: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der nicht rechtwinkligen Winkel 90°.

Sinus und Kosinus

Definition

Sinus ($$sin$$​) und Kosinus ($$cos$$​) beschreiben Zusammenhänge von Seitenverhältnissen und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks.

Auf Basis von zwei Seitenlängen oder einer Seitenlänge und einem Winkel kann man alle fehlenden Winkel und Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen.

Sinus

Verhältnis zwischen Gegenkathete und Hypotenuse und dem Eckwinkel:

$$sin{\left(\alpha\right)}=\frac{Gegenkathete\ von\ \alpha}{Hypotenuse}$$​​

Arkussinus

Der Arkussinus berechnet für ein gegebenes Verhältnis (von Gegenkathete von $$\alpha$$​ zur Hypotenuse) den Winkel $$\alpha.\ {sin}^{-1}$$​ ist die Umkehrfunktion von $$\ sin$$​.

$$\alpha={sin}^{-1}{\left(\frac{Gegenkathete\ von\ \alpha}{Hypotenuse}\right)}$$​​

Kosinus

Verhältnis zwischen Ankathete und Hypotenuse und dem Eckwinkel:

$$cos(\alpha)=\frac{Ankathete\ von\ \alpha}{Hypotenuse}$$​​

Arkuskosinus

Der Arkuskosinus berechnet für ein gegebenes Verhältnis (von Ankathete von $$\alpha$$​ zur Hypotenuse) den Winkel $$\alpha. {cos}^{-1}$$​ ist die Umkehrfunktion von $$\ cos$$​.

$$\alpha={cos}^{-1}{\left(\frac{Ankathete\ von\ \alpha}{Hypotenuse}\right)}$$​​

Beispiel - Winkel  und  berechnen.

Hypotenuse mit dem Pythagoras: 

$$\sqrt{3^2+4^2}\ cm=5cm$$​​

Winkel  mit dem Sinus:

$$sin{\left(\alpha\right)}=\frac{Geg}{Hyp}=\frac{3}{5}$$​​

Arkussinus:

$$\alpha=sin^{-1}(\frac{3}5)=36.9°$$​​

Winkel $$\gamma$$​ mit dem Kosinus:

$$cos{\left(\gamma\right)}=\frac{An}{Hyp}=\frac{3}{5}$$​​

Arkuskosinus:

$$\gamma=cos^{-1}(\frac35)=53.1°$$​​

Hinweis: Man hätte auch anderes vorgehen und zudem die Winkelsumme von 180° nutzen können.

Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus

Folgende Formel helfen beim Vereinfachen von Termen und Auflösen von Gleichungen.

Quadratsumme

$${sin(x)}^2+{cos(x)}^2=1$$​​

Winkelverschiebung

$$sin{\left(x\right)}=cos(90°-x)\\cos{\left(x\right)}=sin(90°-x)$$​​

Werte von Sinus und Kosinus

Teils ist verlangt, die Werte von Sinus und Kosinus für bestimmte Winkel zu kennen.