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Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

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Erklärvideo

Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte 

Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse

Definition

In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem spitzen Winkel  haben die Seiten folgende Bezeichnungen:

Ankathete zu α\mathbf{\alpha}α​

Kathete bbb​ anliegend zum Winkel α{\alpha}α​

Gegenkathete zu α\mathbf{\alpha}α​

Kathete α{\alpha}α​ gegenüber vom Winkel α{\alpha}α​

Hypotenuse 

Seite ccc​ gegenüber vom rechten Winkel


Mathematik; Trigonometrie; BMS; Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte


Hinweis 1: Katheten sind die Dreieckseiten, die am rechten Winkel anliegen.


Hinweis 2: Beachte, dass im rechtwinkligen Dreieck immer der Satz des Pythagoras gilt: 

Kathete2+Kathete2=Hypothenuse2Kathete^2+Kathete^2=Hypothenuse^2Kathete2+Kathete2=Hypothenuse2​​


Hinweis 3: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der nicht rechtwinkligen Winkel 90°.



Sinus und Kosinus

Definition

Sinus (sinsinsin​) und Kosinus (coscoscos​) beschreiben Zusammenhänge von Seitenverhältnissen und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks.


Auf Basis von zwei Seitenlängen oder einer Seitenlänge und einem Winkel kann man alle fehlenden Winkel und Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen.


Sinus

Verhältnis zwischen Gegenkathete und Hypotenuse und dem Eckwinkel:

sin(α)=Gegenkathete von αHypotenusesin{\left(\alpha\right)}=\frac{Gegenkathete\ von\ \alpha}{Hypotenuse}sin(α)=HypotenuseGegenkathete von α​​​


Arkussinus

Der Arkussinus berechnet für ein gegebenes Verhältnis (von Gegenkathete von α\alphaα​ zur Hypotenuse) den Winkel α. sin−1\alpha.\ {sin}^{-1}α. sin−1​ ist die Umkehrfunktion von  sin\ sin sin​.

α=sin−1(Gegenkathete von αHypotenuse)\alpha={sin}^{-1}{\left(\frac{Gegenkathete\ von\ \alpha}{Hypotenuse}\right)}α=sin−1(HypotenuseGegenkathete von α​)​​


Kosinus

Verhältnis zwischen Ankathete und Hypotenuse und dem Eckwinkel:

cos(α)=Ankathete von αHypotenusecos(\alpha)=\frac{Ankathete\ von\ \alpha}{Hypotenuse}cos(α)=HypotenuseAnkathete von α​​​


Arkuskosinus

Der Arkuskosinus berechnet für ein gegebenes Verhältnis (von Ankathete von α\alphaα​ zur Hypotenuse) den Winkel α.cos−1\alpha. {cos}^{-1}α.cos−1​ ist die Umkehrfunktion von  cos\ cos cos​.

α=cos−1(Ankathete von αHypotenuse)\alpha={cos}^{-1}{\left(\frac{Ankathete\ von\ \alpha}{Hypotenuse}\right)}α=cos−1(HypotenuseAnkathete von α​)​​


Beispiel - Winkel  und  berechnen.

Mathematik; Trigonometrie; BMS; Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte


Hypotenuse mit dem Pythagoras: 

32+42 cm=5cm\sqrt{3^2+4^2}\ cm=5cm32+42​ cm=5cm​​


Winkel  mit dem Sinus:

sin(α)=GegHyp=35sin{\left(\alpha\right)}=\frac{Geg}{Hyp}=\frac{3}{5}sin(α)=HypGeg​=53​​​


Arkussinus:

α=sin−1(35)=36.9°\alpha=sin^{-1}(\frac{3}5)=36.9°α=sin−1(53​)=36.9°​​


Winkel γ\gammaγ​ mit dem Kosinus:

cos(γ)=AnHyp=35cos{\left(\gamma\right)}=\frac{An}{Hyp}=\frac{3}{5}cos(γ)=HypAn​=53​​​


Arkuskosinus:

γ=cos−1(35)=53.1°\gamma=cos^{-1}(\frac35)=53.1°γ=cos−1(53​)=53.1°​​



Hinweis: Man hätte auch anderes vorgehen und zudem die Winkelsumme von 180° nutzen können.



Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus

Folgende Formel helfen beim Vereinfachen von Termen und Auflösen von Gleichungen.


Quadratsumme

sin(x)2+cos(x)2=1{sin(x)}^2+{cos(x)}^2=1sin(x)2+cos(x)2=1​​


Winkelverschiebung

sin(x)=cos(90°−x)cos(x)=sin(90°−x)sin{\left(x\right)}=cos(90°-x)\\cos{\left(x\right)}=sin(90°-x)sin(x)=cos(90°−x)cos(x)=sin(90°−x)​​



Werte von Sinus und Kosinus

Teils ist verlangt, die Werte von Sinus und Kosinus für bestimmte Winkel zu kennen.


Mathematik; Trigonometrie; BMS; Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wofür brauche ich Sinus und Kosinus?

Sinus (sin) und Kosinus (cos) beschreiben Zusammenhänge von Seitenverhältnissen und Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks. Auf Basis von zwei Seitenlängen oder einer Seitenlänge und einem Winkel kannst Du alle fehlenden Winkel und Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen.

Was berechnet man mit dem Sinus?

Der Sinus beschreibt das Verhältnis zwischen Gegenkathete, Hypotenuse und dem Eckwinkel: sin⁡(α)=(Gegenkathete von α)/Hypotenuse.

Was rechnet man mit dem Kosinus aus?

Der Kosinus beschreibt das Verhältnis zwischen Ankathete und Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck: cos(α)=(Ankathete von α)/Hypotenuse.

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