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Erklärvideo

Lehrperson: Severina
Lehrperson: Severina

Erklärvideo 1

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Zusammenfassung

Wurzel: Definition, Rechenregeln & Beispiele

Quadratwurzel

Definition

Die Quadratwurzel sucht nach der Zahl, welche mit sich selbst multipliziert (quadriert) die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung des Quadrats. Man schreibt ⋯2\sqrt[2]{\cdots} 2⋯​​ oder ⋯ .\sqrt\cdots.⋯​.​


Beispiele
Mathematik; Wurzeln; BMS; Wurzel: Definition, Rechenregeln & Beispiele


Hinweise:

Nicht jede Zahl hat als Ergebnis einer Wurzel eine ganzzahlige Zahl. Die Ergebnisse sind dann endloslange Dezimalzahlen.

​3=1.732…\sqrt3=1.732\ldots3​=1.732…​​
​5=2.236…\sqrt5=2.236\ldots5​=2.236…​​

Terme unter der Wurzel müssen immer positiv sein.


Es existieren keine Zahlen, die ein negatives Quadrat haben.

​−49= ?\sqrt{-49}=\ ?−49​= ?​​
​−49=x2-49=x^2−49=x2​​
Nicht möglich, keine Lösung.

​


Wurzel von Variablen

Die Quadratwurzel halbiert den Exponenten einer Variabel.


Beispiele
​x33=x33=x1=x\sqrt[3]{x^3}=x^\frac{3}{3}=x^1=x3x3​=x33​=x1=x​​
​a3=a13\sqrt[3]{a}=a^\frac{1}{3}3a​=a31​​​
​y63=y63=y2\sqrt[3]{y^6}=y^\frac{6}{3}=y^23y6​=y36​=y2​​


Dritte Wurzel

Definition

Die dritte Wurzel sucht nach der Zahl, welche hoch drei die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der dritten Potenz. Man schreibt ⋯3.\sqrt[3]{\cdots}.3⋯​.​


Beispiele
Mathematik; Wurzeln; BMS; Wurzel: Definition, Rechenregeln & Beispiele


Dritte Wurzel von Variablen

Die dritte Wurzel drittelt den Exponenten einer Variabel.


Beispiele
​x33=x33=x1=x\sqrt[3]{x^3}=x^\frac{3}{3}=x^1=x3x3​=x33​=x1=x​​
​a3=a13\sqrt[3]{a}=a^\frac{1}{3}3a​=a31​​​
​y63=y63=y2\sqrt[3]{y^6}=y^\frac{6}{3}=y^23y6​=y36​=y2​​



Allgemeine Wurzel: n-te Wurzel

Definition

Die n-te Wurzel sucht nach der Zahl, welche hoch n die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der n-ten Potenz. Man schreibt ⋯n.\sqrt[n]{\cdots}.n⋯​.​

​

n-te Wurzel von Variablen

Die n-te Wurzel teilt den Exponenten einer Variabel durch n.



Rechnen mit Wurzeln

Rechenregeln

ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN

Zuerst die Wurzel(n) ausrechnen und dann zusammenrechnen.

​x+y≠x+y\sqrt{x+y}\neq \sqrt x+\sqrt yx+y​=x​+y​​​

​x−y≠x−y\sqrt{x-y}\neq\sqrt x-\sqrt yx−y​=x​−y​​​
 

MULTIPLIZIEREN UND DIVIDIEREN

Wurzeln separat oder unter einer Wurzel verrechnen.

​x⋅y=x⋅y\sqrt{x\cdot y}=\sqrt x\cdot\sqrt yx⋅y​=x​⋅y​​​
​xy=xy\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt x}{\sqrt y}yx​​=y​x​​​​

WURZEL VON WURZEL

Wurzelexponenten multiplizieren.

​xnm=xm∙n\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[m\bullet n]{x}mnx​​=m∙nx​​​

WURZELN POTENZIEREN

Reihenfolge von Wurzel und Potenz ist vertauschbar.

​(xn)m=xmn{(\sqrt[n]{x})}^m=\sqrt[n]{x^m}(nx​)m=nxm​​​


Wurzel von Dezimalzahlen

Vorgehen

1.

Wandle die Zahl in einen Bruch um.

2.

Ziehe die Wurzel von Zähler und Nenner separat.


Beispiel

​2.25=225100=225100=1510=32\sqrt{2.25}=\sqrt{\frac{225}{100}}=\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{100}}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}2.25​=100225​​=100​225​​=1015​=23​​


Wurzeln von negativen Zahlen

Je nach Definition (und Lehrer) darf man auch aus negativen Zahlen Wurzeln ziehen. Dazu muss der Wurzelexponent ungerade sein.


Hinweis: Folgende Definition kann je nach Lehrmittel abweichen.


Definition

Eine ungerade Potenz einer negativen Zahl ergibt eine negative Zahl. Es gilt:−an=−an, a≥0,n ungerade\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a},\ a\geq0,n\ ungeraden−a​=−na​, a≥0,n ungerade​


Beispiele
​−273=−273=−3\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-33−27​=−327​=−3​​
​−325=−325=−2\sqrt[5]{-32}=-\sqrt[5]{32}=-25−32​=−532​=−2​​
​−17=−17=−1\sqrt[7]{-1}=-\sqrt[7]{1}=-17−1​=−71​=−1​​






Mehr dazu

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Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Bruch erweitern, kürzen & Anteile berechnen

Teil 1

Bruch erweitern, kürzen & Anteile berechnen

Punktrechnung mit Brüchen

Teil 2

Punktrechnung mit Brüchen

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Wurzel: Definition, Rechenregeln & Beispiele

Teil 3

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die dritte Wurzel?

Die dritte Wurzel sucht nach der Zahl, welche hoch drei die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der dritten Potenz.

Was ist die dritte Wurzel von einer Variabel?

Die dritte Wurzel drittelt den Exponenten einer Variabel.

Was ist die n-te Wurzel?

Die n-te Wurzel sucht nach der Zahl, welche hoch "n" die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der n-ten Potenz.

Was ist die dritte Wurzel?

Die dritte Wurzel sucht nach der Zahl, welche hoch drei die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der dritten Potenz.

Was ist die dritte Wurzel von einer Variabel?

Die dritte Wurzel drittelt den Exponenten einer Variabel.

Was ist die n-te Wurzel?

Die n-te Wurzel sucht nach der Zahl, welche hoch "n" die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der n-ten Potenz.

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