Wurzel: Definition, Rechenregeln & Beispiele

Quadratwurzel

Definition

Die Quadratwurzel sucht nach der Zahl, welche mit sich selbst multipliziert (quadriert) die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung des Quadrats. Man schreibt $\sqrt[2]{\cdots}$ oder $\sqrt\cdots.$

Beispiele

Mathematik; Wurzeln; BMS; Wurzel: Definition, Rechenregeln & Beispiele

Hinweise:

Nicht jede Zahl hat als Ergebnis einer Wurzel eine ganzzahlige Zahl. Die Ergebnisse sind dann endloslange Dezimalzahlen.

\sqrt3=1.732\ldots

\sqrt5=2.236\ldots

Terme unter der Wurzel müssen immer positiv sein.

Es existieren keine Zahlen, die ein negatives Quadrat haben.

\sqrt{-49}=\ ?

-49=x^2

Nicht möglich, keine Lösung.

Wurzel von Variablen

Die Quadratwurzel halbiert den Exponenten einer Variabel.

Beispiele

\sqrt[3]{x^3}=x^\frac{3}{3}=x^1=x

\sqrt[3]{a}=a^\frac{1}{3}

\sqrt[3]{y^6}=y^\frac{6}{3}=y^2

Dritte Wurzel

Definition

Die dritte Wurzel sucht nach der Zahl, welche hoch drei die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der dritten Potenz. Man schreibt $\sqrt[3]{\cdots}.$

Beispiele

Mathematik; Wurzeln; BMS; Wurzel: Definition, Rechenregeln & Beispiele

Dritte Wurzel von Variablen

Die dritte Wurzel drittelt den Exponenten einer Variabel.

Beispiele

\sqrt[3]{x^3}=x^\frac{3}{3}=x^1=x

\sqrt[3]{a}=a^\frac{1}{3}

\sqrt[3]{y^6}=y^\frac{6}{3}=y^2

Allgemeine Wurzel: n-te Wurzel

Definition

Die n-te Wurzel sucht nach der Zahl, welche hoch n die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der n-ten Potenz. Man schreibt $\sqrt[n]{\cdots}.$

n-te Wurzel von Variablen

Die n-te Wurzel teilt den Exponenten einer Variabel durch n.

Rechnen mit Wurzeln

Rechenregeln

ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN	Zuerst die Wurzel(n) ausrechnen und dann zusammenrechnen.	$\sqrt{x+y}\neq \sqrt x+\sqrt y$ $\sqrt{x-y}\neq\sqrt x-\sqrt y$

MULTIPLIZIEREN UND DIVIDIEREN	Wurzeln separat oder unter einer Wurzel verrechnen.	$\sqrt{x\cdot y}=\sqrt x\cdot\sqrt y$
		$\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt x}{\sqrt y}$
WURZEL VON WURZEL	Wurzelexponenten multiplizieren.	$\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[m\bullet n]{x}$
WURZELN POTENZIEREN	Reihenfolge von Wurzel und Potenz ist vertauschbar.	${(\sqrt[n]{x})}^m=\sqrt[n]{x^m}$

Wurzel von Dezimalzahlen

Vorgehen

1.	Wandle die Zahl in einen Bruch um.
2.	Ziehe die Wurzel von Zähler und Nenner separat.

Beispiel

$\sqrt{2.25}=\sqrt{\frac{225}{100}}=\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{100}}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$

Wurzeln von negativen Zahlen

Je nach Definition (und Lehrer) darf man auch aus negativen Zahlen Wurzeln ziehen. Dazu muss der Wurzelexponent ungerade sein.

Hinweis: Folgende Definition kann je nach Lehrmittel abweichen.

Definition

Eine ungerade Potenz einer negativen Zahl ergibt eine negative Zahl. Es gilt: $\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a},\ a\geq0,n\ ungerade$

Beispiele

\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3

\sqrt[5]{-32}=-\sqrt[5]{32}=-2

\sqrt[7]{-1}=-\sqrt[7]{1}=-1