Die Quadratwurzel sucht nach der Zahl, welche mit sich selbst multipliziert (quadriert) die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung des Quadrats. Man schreibt 2⋯ oder ⋯.
Beispiele
Hinweise:
Nicht jede Zahl hat als Ergebnis einer Wurzel eine ganzzahlige Zahl. Die Ergebnisse sind dann endloslange Dezimalzahlen.
3=1.732…
5=2.236…
Terme unter der Wurzel müssen immer positiv sein.
Es existieren keine Zahlen, die ein negatives Quadrat haben.
−49=?
−49=x2
Nicht möglich, keine Lösung.
Wurzel von Variablen
Die Quadratwurzel halbiert den Exponenten einer Variabel.
Beispiele
3x3=x33=x1=x
3a=a31
3y6=y36=y2
Dritte Wurzel
Definition
Die dritte Wurzel sucht nach der Zahl, welche hoch drei die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der dritten Potenz. Man schreibt3⋯.
Beispiele
Dritte Wurzel von Variablen
Die dritte Wurzel drittelt den Exponenten einer Variabel.
Beispiele
3x3=x33=x1=x
3a=a31
3y6=y36=y2
Allgemeine Wurzel: n-te Wurzel
Definition
Die n-te Wurzel sucht nach der Zahl, welche hoch n die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der n-ten Potenz. Man schreibtn⋯.
n-te Wurzel von Variablen
Die n-te Wurzel teilt den Exponenten einer Variabel durch n.
Rechnen mit Wurzeln
Rechenregeln
ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN
Zuerst die Wurzel(n) ausrechnen und dann zusammenrechnen.
x+y=x+y
x−y=x−y
MULTIPLIZIEREN UND DIVIDIEREN
Wurzeln separat oder unter einer Wurzel verrechnen.
x⋅y=x⋅y
yx=yx
WURZEL VON WURZEL
Wurzelexponenten multiplizieren.
mnx=m∙nx
WURZELN POTENZIEREN
Reihenfolge von Wurzel und Potenz ist vertauschbar.
(nx)m=nxm
Wurzel von Dezimalzahlen
Vorgehen
1.
Wandle die Zahl in einen Bruch um.
2.
Ziehe die Wurzel von Zähler und Nenner separat.
Beispiel
2.25=100225=100225=1015=23
Wurzeln von negativen Zahlen
Je nach Definition (und Lehrer) darf man auch aus negativen Zahlen Wurzeln ziehen. Dazu muss der Wurzelexponent ungerade sein.
Hinweis:Folgende Definition kann je nach Lehrmittel abweichen.
Definition
Eine ungerade Potenz einer negativen Zahl ergibt eine negative Zahl. Es gilt:n−a=−na,a≥0,nungerade
Beispiele
3−27=−327=−3
5−32=−532=−2
7−1=−71=−1
Wurzel: Definition, Rechenregeln & Beispiele
Quadratwurzel
Definition
Die Quadratwurzel sucht nach der Zahl, welche mit sich selbst multipliziert (quadriert) die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung des Quadrats. Man schreibt 2⋯ oder ⋯.
Beispiele
Hinweise:
Nicht jede Zahl hat als Ergebnis einer Wurzel eine ganzzahlige Zahl. Die Ergebnisse sind dann endloslange Dezimalzahlen.
3=1.732…
5=2.236…
Terme unter der Wurzel müssen immer positiv sein.
Es existieren keine Zahlen, die ein negatives Quadrat haben.
−49=?
−49=x2
Nicht möglich, keine Lösung.
Wurzel von Variablen
Die Quadratwurzel halbiert den Exponenten einer Variabel.
Beispiele
3x3=x33=x1=x
3a=a31
3y6=y36=y2
Dritte Wurzel
Definition
Die dritte Wurzel sucht nach der Zahl, welche hoch drei die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der dritten Potenz. Man schreibt3⋯.
Beispiele
Dritte Wurzel von Variablen
Die dritte Wurzel drittelt den Exponenten einer Variabel.
Beispiele
3x3=x33=x1=x
3a=a31
3y6=y36=y2
Allgemeine Wurzel: n-te Wurzel
Definition
Die n-te Wurzel sucht nach der Zahl, welche hoch n die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung der n-ten Potenz. Man schreibtn⋯.
n-te Wurzel von Variablen
Die n-te Wurzel teilt den Exponenten einer Variabel durch n.
Rechnen mit Wurzeln
Rechenregeln
ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN
Zuerst die Wurzel(n) ausrechnen und dann zusammenrechnen.
x+y=x+y
x−y=x−y
MULTIPLIZIEREN UND DIVIDIEREN
Wurzeln separat oder unter einer Wurzel verrechnen.
x⋅y=x⋅y
yx=yx
WURZEL VON WURZEL
Wurzelexponenten multiplizieren.
mnx=m∙nx
WURZELN POTENZIEREN
Reihenfolge von Wurzel und Potenz ist vertauschbar.
(nx)m=nxm
Wurzel von Dezimalzahlen
Vorgehen
1.
Wandle die Zahl in einen Bruch um.
2.
Ziehe die Wurzel von Zähler und Nenner separat.
Beispiel
2.25=100225=100225=1015=23
Wurzeln von negativen Zahlen
Je nach Definition (und Lehrer) darf man auch aus negativen Zahlen Wurzeln ziehen. Dazu muss der Wurzelexponent ungerade sein.
Hinweis:Folgende Definition kann je nach Lehrmittel abweichen.
Definition
Eine ungerade Potenz einer negativen Zahl ergibt eine negative Zahl. Es gilt:n−a=−na,a≥0,nungerade
Beispiele
3−27=−327=−3
5−32=−532=−2
7−1=−71=−1
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