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Lehrperson: Jonas Fehlmann

Zusammenfassung

Rentenrechnung: Definition & Formeln

Definition

Unter einer Rente versteht man eine Folge von regelmässigen, wiederkehrenden, gleichen Einzahlungen von oder Auszahlungen auf ein Anlagekonto.


Beispiel - Altersrente

Einzahlung: Eine Person zahlt 30 Jahre lang jährlich den gleichen Betrag auf ihr Rentenkonto ein.

Auszahlung: Nach den 30 Jahren zahlt sich die Person jährlich einen gleichen Betrag aus.



Nachschüssige und vorschüssige Rente

Hinsichtlich der Verzinsung des Kapitals ist es wichtig zu unterscheiden, wann im Jahr die Kapitalbewegung erfolgt:


NACHSCHÜSSIGE RENTE

VORSCHÜSSIGE RENTE

Die Zahlung erfolgt am Ende jeder Periode:

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Die Zahlung erfolgt am Anfang jeder Periode:

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Barwert und Endwert

Man unterscheidet bei der Summe einer Rente zwischen Barwert und Endwert.


BARWERT R0R_0R0​​

ENDWERT RnR_nRn​​

Betrag, der anfangs auf dem Anlagekonto liegen muss, um über eine Zeitdauer eine gewünschte Rente auszahlen zu können.

Mathematik; Renten- und Tilgungsrechnung; BMS; Rentenrechnung: Definition & Formeln

Betrag, der am Ende einer Zeitdauer auf dem Anlagekonto liegt, wenn regelmüssig eine bestimme Rente eingezahlt wurde.

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​

Weitere Begriffe

Rente rrr​

Konstanter Betrag, der regelmässig einbezahlt oder ausbezahlt wird.

Jahre nnn​

Die Anzahl Jahre, in denen die Rente einbezahlt/ausbezahlt wird.

Perioden pro Jahr mmm​

Anzahl Perioden pro Jahr denen die Rente einbezahlt/ausbezahlt wird.

Zinsfaktor qqq​

Faktor q=1+p100%q=1+\frac{p}{100\%}q=1+100%p​​,  zu dem das Kapital auf dem Anlagekonto zum Zinssatz ppp​ verzinst wird.

Hinweis: Bei unterjährigen Laufzeiten notiert man quq_uqu​​.

Zinssatz ppp​

Zinsen auf dem Anlagekonto in %.

Hinweis: Bei unterjährigen Laufzeiten notiert man pup_upu​​. Die Zinsen gelten für eine Periode.



Formeln

Jährigen Laufzeiten

Wenn die Renten einmal pro Jahr bezahlt werden:

nachschüssige Rente

vorschüssige Rente

BARWERT R0R_0R0​​

​R0=r⋅qn−1qn⋅(q−1)R_0=r\cdot\frac{q^n-1}{q^n\cdot\left(q-1\right)}R0​=r⋅qn⋅(q−1)qn−1​​​

​R0=r⋅qn−1qn−1⋅(q−1)R_0=r\cdot\frac{q^n-1}{q^{n-1}\cdot\left(q-1\right)}R0​=r⋅qn−1⋅(q−1)qn−1​​​

ENDWERT RnR_nRn​​

​Rn=r⋅qn−1q−1R_n=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}Rn​=r⋅q−1qn−1​​​

​Rn=r⋅q⋅qn−1q−1R_n=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}Rn​=r⋅q⋅q−1qn−1​​​


Unterjährigen Laufzeiten

Wenn die Renten mehrfach pro Jahr bezahlt werden:

nachschüssige Rente

vorschüssige Rente

ENDWERT RnR_nRn​​

​Rn=r⋅qn⋅m−1q−1R_n=r\cdot\frac{q^{n\cdot m}-1}{q-1}Rn​=r⋅q−1qn⋅m−1​​​

​Rn=r⋅q⋅qn⋅m−1q−1R_n=r\cdot q\cdot\frac{q^{n\cdot m}-1}{q-1}Rn​=r⋅q⋅q−1qn⋅m−1​​​

BARWERT R0R_0R0​​

​R0= r⋅qn⋅m−1qn⋅m⋅(q−1)R_0=\ r\cdot\frac{q^{n\cdot m}-1}{q^{n\cdot m}\cdot\left(q-1\right)}R0​= r⋅qn⋅m⋅(q−1)qn⋅m−1​​​

​R0= r⋅qn⋅m−1q(n⋅m)−1⋅(q−1)R_0=\ r\cdot\frac{q^{n\cdot m}-1}{q^{(n\cdot m)-1}\cdot\left(q-1\right)}R0​= r⋅q(n⋅m)−1⋅(q−1)qn⋅m−1​​​


Tipp - Umwandlung der Formeln:

Durch Umstellen der Grundformeln nach den verschiedenen Variablen können die einzelnen Grössen berechnet werden. Am Beispiel der jährigen Laufzeiten:

nachschüssige Rente

vorschüssige Rente

RENTE rrr​

​r=R0⋅qn⋅(q−1)qn−1=Rn⋅q−1qn−1r=R_0\cdot\frac{q^n\cdot\left(q-1\right)}{q^n-1}=R_n\cdot\frac{q-1}{q^n-1}r=R0​⋅qn−1qn⋅(q−1)​=Rn​⋅qn−1q−1​​​

​r=R0⋅qn−1⋅(q−1)qn−1=Rn⋅q−1q⋅(qn−1)r=R_0\cdot\frac{q^{n-1}\cdot\left(q-1\right)}{q^n-1}=R_n\cdot\frac{q-1}{q\cdot\left(q^n-1\right)}r=R0​⋅qn−1qn−1⋅(q−1)​=Rn​⋅q⋅(qn−1)q−1​​​

ANZAHL JAHRE nnn​

​n=log⁡(Rn⋅(q−1)r+1) log⁡qn=\frac{\log{\left(\frac{R_n\cdot\left(q-1\right)}{r}+1\right)\ }}{\log{q}}n=logqlog(rRn​⋅(q−1)​+1) ​​​

​n=log⁡(Rn⋅(q−1)r⋅q+1) log⁡qn=\frac{\log{\left(\frac{R_n\cdot\left(q-1\right)}{r\cdot q}+1\right)\ }}{\log{q}}n=logqlog(r⋅qRn​⋅(q−1)​+1) ​​​


Grösse bestimmen

VORGEHEN

1.

Bestimme, ob es sich um eine vor- oder nachschüssige Rente und um Barwert oder Endwerthandelt und notiere die entsprechende Formel.

2.

Berechne, wenn nötig, den Zinsfaktor q=1+p100%q=1+\frac{p}{100\%}q=1+100%p​​ oder qu=1+pu100%q_u=1+\frac{p_u}{100\%}qu​=1+100%pu​​​​

3.

Löse die Formel, wenn nötig, nach dem gesuchten Wert auf.

4.

Setze die gegebenen Werte ein und berechne.


Beispiel - Ein 7-jähriger Sparplan sieht Einzahlungen in der Höhe von CHF 3’000 Ende jeden Jahres vor. Die Verzinsung beträgt 5%. Wie hoch ist das Vermögen am Ende des Sparplans? Runde auf 5 Rappen genau.


Zinsfaktor berechnen:

q=1+5%100%=1.05q=1+\frac{5\%}{100\%}=1.05q=1+100%5%​=1.05​​


Jährige nachschüssige Rente - Endwert:

Rn=r⋅qn−1q−1R_n=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}Rn​=r⋅q−1qn−1​​​


Da die Formel bereits nach dem gesuchten Wert aufgelöst ist, direkt einsetzen:

Rn=3′000⋅1.057−11.05−1≈24′426.05‾R_n=3'000\cdot\frac{{1.05}^7-1}{1.05-1}\approx\underline{24'426.05}Rn​=3′000⋅1.05−11.057−1​≈24′426.05​​​



Beispiel - Ein Betrag von CHF 250 wird am Anfang von jedem Monat auf ein Sparkonto mit einem Zins von 3% übertragen. Wie gross ist das Kapital nach 3 Jahren?


Monatliche (unterjährigen) vorschüssige Rente - Endwert:

Rn=r⋅q⋅qn⋅m−1q−1R_n=r\cdot q\cdot\frac{q^{n\cdot m}-1}{q-1}Rn​=r⋅q⋅q−1qn⋅m−1​​​


Zinsfaktor berechnen:

q=1+3%12⋅100%=1.0025q=1+\frac{3\%}{12\cdot100\%}=1.0025q=1+12⋅100%3%​=1.0025​​


Einsetzen und ausrechnen:

Rn=250⋅1.0025⋅1.00253⋅12−11.0025−1≈9′428.65‾R_n=250\cdot1.0025\cdot\frac{{1.0025}^{3\cdot12}-1}{1.0025-1}\approx\underline{9'428.65}Rn​=250⋅1.0025⋅1.0025−11.00253⋅12−1​≈9′428.65​​​








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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine Rente?

Unter einer Rente versteht man eine Folge von regelmässigen, wiederkehrenden und gleichen Einzahlungen in ein Anlagekonto

Was ist ein Barwert?

Das ist der Betrag, der anfangs auf dem Anlagekonto liegen muss, um über eine Zeitdauer eine gewünschte Rente auszahlen zu können.

Was ist ein Endwert?

Das ist der Betrag, der am Ende einer Zeitdauer auf dem Anlagekonto liegt, wenn regelmüssig eine bestimme Rente eingezahlt wurde.

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