Home

Mathematik

Renten- und Tilgungsrechnung

Rentenrechnung: Definition & Formeln

Rentenrechnung: Definition & Formeln

Erklärvideos

Zusammenfassung

Übungen

Lektion auswählen

Grundlagen

Bruch erweitern, kürzen & Anteile berechnen

Binomische und trinomische Formeln

Variablen und Terme: Basiswissen

Zahlenmengen: Darstellung & Intervalle

Mengenlehre: Darstellung, Eigenschaften & Venn-Diagramm

Umrechnung zwischen Bruch, Dezimal- und Prozentzahl

Brüche

Zweiklammeransatz: Definition & Beispiel

Mit Termen rechnen: Addition & Subtraktion

Mit Termen rechnen: Multiplikation & Division

Faktorisieren: Definition & Vorgehen

Addition und Subtraktion von Brüchen

Betrag berechnen bei Punkt- & Strichrechnung

Terme vereinfachen: Strich- & Punktrechnung

Punktrechnung mit Brüchen

Bruchterme vereinfachen: Vorgehen & Beispiele

Polynomdivision durchführen

Bruchterme mit Wurzeln: Vorgehen & Beispiel

Bruchterme mit Faktorisieren

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen als Boxenanordnung

Lineare Gleichungen mit Parametern

Bruchgleichung ohne Variable im Nenner

Bruchgleichungen mit Variablen im Nenner

Satzaufgaben mit Anteilen

Lineare Gleichung als Boxanordnung

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichung Einführung

Direkte Berechnung quadratischer Gleichungen

Faktorzerlegung einer quadratischen Gleichung

Gleichung lösen mit quadratischer Ergänzung

Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

Mitternachtsformel (abc-Formel) anwenden

Gleichungen: Textaufgaben

Satzaufgaben mit zwei Variablen lösen

Potenzen

Potenzgesetze anwenden mit Beispielen

Potenzterme vereinfachen: Rechenregeln

Exponentialgleichungen lösen

Wurzel berechnen

Wurzelterme vereinfachen: Rechenregeln

Wurzelgleichung lösen und Definitionsbereich bestimmen

Rechnen mit absoluten & relativen Grössen

Logarithmus

Logarithmusgleichungen lösen

Wurzel: Definition, Rechenregeln & Beispiele

Ungleichungen

Lineare Ungleichung

Bruchungleichungen: Definition & Vorgehen

Quadratische Ungleichungen lösen

Ungleichungssystem mit mehreren Ungleichungen

Lineare Funktionen

Funktionsbegriff: Definition & Darstellung

Lineare Funktion: Definition & Darstellung

Schnittpunkt von linearen Funktionen bestimmen

Umkehrung linearer Funktionen bestimmen: rechnerisch & graphisch

Lineare Optimierung

Lineare Optimierung berechnen

Quadratische Funktion

Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

Quadratische Optimierung: Definition & Vorgehen

Satzaufgaben mit quadratischer Funktion lösen

Schnittpunkte von Funktionen berechnen

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Wurzelfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Wachstums- und Zerfallsprozesse berechnen

Logarithmusfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Datenanalyse

Grundlagen der Datenanalyse

Diagramme und Verteilungen

Streuungsmasse: Spannweite, Varianz und mehr

Boxplot: Definition & Kennwerte

Betriebswirtschaftliche Funktionen

Betriebswirtschaftliche Funktionen: Definition & Formeln

Spezielle Funktionen: Pauschalgebühr & Mengenrabatt

Markt und Preisbildung

Preisbildung lineare Funktionen

Preisbildung nicht-lineare Funktionen

Preisbildung externe Markteinflüsse

Zinsrechnung

Zinseszinses & unterjährige Verzinsung: Definition & Formeln

Spezialfälle der Zinsrechnung berechnen

Renten- und Tilgungsrechnung

Rentenrechnung: Definition & Formeln

Tilgungsrechnung: Definition & Formeln

Flächen berechnen

Dreiecke: Typen, Flächeninhalt & Konstruktionen

Kreis & Kreiszahl: Definition, Formeln & Beispiele

Kreissektor: Definition & Formeln

Kreis und Gerade: Sekante, Tangente & Passante konstruieren

n - Ecke: Definition, Aussen- & Innenwinkel

Ähnlichkeit von Figuren bestimmen

Goldener Schnitt: Definition & Teilungsverhältnis

Ähnliche Dreiecke

Ähnliche Dreiecke bestimmen

Trigonometrie

Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

Einheitskreis: Definition & typische Aufgaben

Körper

Prisma Ansichten und Netze

Prisma: Fläche & Volumen berechnen

Zylinder: Definition & Eigenschaften

Pyramide

Pyramide Ansichten Netze

Pyramide: Fläche & Volumen berechnen

Kegel: Definition & Eigenschaften

Kugel: Definition & Formeln

Platonische Körper: Definition & Eigenschaften

Archimedische Körper: Definition & Eigenschaften

Schattenwurf bestimmen: Definition & Beispiele

Wahrscheinlichkeit

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen

Zufallsexperiment

Erklärvideo

Lehrperson: Jonas Fehlmann

Zusammenfassung

Rentenrechnung: Definition & Formeln

Definition

Unter einer Rente versteht man eine Folge von regelmässigen, wiederkehrenden, gleichen Einzahlungen von oder Auszahlungen auf ein Anlagekonto.


Beispiel - Altersrente

Einzahlung: Eine Person zahlt 30 Jahre lang jährlich den gleichen Betrag auf ihr Rentenkonto ein.

Auszahlung: Nach den 30 Jahren zahlt sich die Person jährlich einen gleichen Betrag aus.



Nachschüssige und vorschüssige Rente

Hinsichtlich der Verzinsung des Kapitals ist es wichtig zu unterscheiden, wann im Jahr die Kapitalbewegung erfolgt:


NACHSCHÜSSIGE RENTE

VORSCHÜSSIGE RENTE

Die Zahlung erfolgt am Ende jeder Periode:

Mathematik; Renten- und Tilgungsrechnung; BMS; Rentenrechnung: Definition & Formeln

Die Zahlung erfolgt am Anfang jeder Periode:

Mathematik; Renten- und Tilgungsrechnung; BMS; Rentenrechnung: Definition & Formeln

​

Barwert und Endwert

Man unterscheidet bei der Summe einer Rente zwischen Barwert und Endwert.


BARWERT R0R_0R0​​

ENDWERT RnR_nRn​​

Betrag, der anfangs auf dem Anlagekonto liegen muss, um über eine Zeitdauer eine gewünschte Rente auszahlen zu können.

Mathematik; Renten- und Tilgungsrechnung; BMS; Rentenrechnung: Definition & Formeln

Betrag, der am Ende einer Zeitdauer auf dem Anlagekonto liegt, wenn regelmüssig eine bestimme Rente eingezahlt wurde.

Mathematik; Renten- und Tilgungsrechnung; BMS; Rentenrechnung: Definition & Formeln

​

Weitere Begriffe

Rente rrr​

Konstanter Betrag, der regelmässig einbezahlt oder ausbezahlt wird.

Jahre nnn​

Die Anzahl Jahre, in denen die Rente einbezahlt/ausbezahlt wird.

Perioden pro Jahr mmm​

Anzahl Perioden pro Jahr denen die Rente einbezahlt/ausbezahlt wird.

Zinsfaktor qqq​

Faktor q=1+p100%q=1+\frac{p}{100\%}q=1+100%p​​,  zu dem das Kapital auf dem Anlagekonto zum Zinssatz ppp​ verzinst wird.

Hinweis: Bei unterjährigen Laufzeiten notiert man quq_uqu​​.

Zinssatz ppp​

Zinsen auf dem Anlagekonto in %.

Hinweis: Bei unterjährigen Laufzeiten notiert man pup_upu​​. Die Zinsen gelten für eine Periode.



Formeln

Jährigen Laufzeiten

Wenn die Renten einmal pro Jahr bezahlt werden:

nachschüssige Rente

vorschüssige Rente

BARWERT R0R_0R0​​

​R0=r⋅qn−1qn⋅(q−1)R_0=r\cdot\frac{q^n-1}{q^n\cdot\left(q-1\right)}R0​=r⋅qn⋅(q−1)qn−1​​​

​R0=r⋅qn−1qn−1⋅(q−1)R_0=r\cdot\frac{q^n-1}{q^{n-1}\cdot\left(q-1\right)}R0​=r⋅qn−1⋅(q−1)qn−1​​​

ENDWERT RnR_nRn​​

​Rn=r⋅qn−1q−1R_n=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}Rn​=r⋅q−1qn−1​​​

​Rn=r⋅q⋅qn−1q−1R_n=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}Rn​=r⋅q⋅q−1qn−1​​​


Unterjährigen Laufzeiten

Wenn die Renten mehrfach pro Jahr bezahlt werden:

nachschüssige Rente

vorschüssige Rente

ENDWERT RnR_nRn​​

​Rn=r⋅qn⋅m−1q−1R_n=r\cdot\frac{q^{n\cdot m}-1}{q-1}Rn​=r⋅q−1qn⋅m−1​​​

​Rn=r⋅q⋅qn⋅m−1q−1R_n=r\cdot q\cdot\frac{q^{n\cdot m}-1}{q-1}Rn​=r⋅q⋅q−1qn⋅m−1​​​

BARWERT R0R_0R0​​

​R0= r⋅qn⋅m−1qn⋅m⋅(q−1)R_0=\ r\cdot\frac{q^{n\cdot m}-1}{q^{n\cdot m}\cdot\left(q-1\right)}R0​= r⋅qn⋅m⋅(q−1)qn⋅m−1​​​

​R0= r⋅qn⋅m−1q(n⋅m)−1⋅(q−1)R_0=\ r\cdot\frac{q^{n\cdot m}-1}{q^{(n\cdot m)-1}\cdot\left(q-1\right)}R0​= r⋅q(n⋅m)−1⋅(q−1)qn⋅m−1​​​


Tipp - Umwandlung der Formeln:

Durch Umstellen der Grundformeln nach den verschiedenen Variablen können die einzelnen Grössen berechnet werden. Am Beispiel der jährigen Laufzeiten:

nachschüssige Rente

vorschüssige Rente

RENTE rrr​

​r=R0⋅qn⋅(q−1)qn−1=Rn⋅q−1qn−1r=R_0\cdot\frac{q^n\cdot\left(q-1\right)}{q^n-1}=R_n\cdot\frac{q-1}{q^n-1}r=R0​⋅qn−1qn⋅(q−1)​=Rn​⋅qn−1q−1​​​

​r=R0⋅qn−1⋅(q−1)qn−1=Rn⋅q−1q⋅(qn−1)r=R_0\cdot\frac{q^{n-1}\cdot\left(q-1\right)}{q^n-1}=R_n\cdot\frac{q-1}{q\cdot\left(q^n-1\right)}r=R0​⋅qn−1qn−1⋅(q−1)​=Rn​⋅q⋅(qn−1)q−1​​​

ANZAHL JAHRE nnn​

​n=log⁡(Rn⋅(q−1)r+1) log⁡qn=\frac{\log{\left(\frac{R_n\cdot\left(q-1\right)}{r}+1\right)\ }}{\log{q}}n=logqlog(rRn​⋅(q−1)​+1) ​​​

​n=log⁡(Rn⋅(q−1)r⋅q+1) log⁡qn=\frac{\log{\left(\frac{R_n\cdot\left(q-1\right)}{r\cdot q}+1\right)\ }}{\log{q}}n=logqlog(r⋅qRn​⋅(q−1)​+1) ​​​


Grösse bestimmen

VORGEHEN

1.

Bestimme, ob es sich um eine vor- oder nachschüssige Rente und um Barwert oder Endwerthandelt und notiere die entsprechende Formel.

2.

Berechne, wenn nötig, den Zinsfaktor q=1+p100%q=1+\frac{p}{100\%}q=1+100%p​​ oder qu=1+pu100%q_u=1+\frac{p_u}{100\%}qu​=1+100%pu​​​​

3.

Löse die Formel, wenn nötig, nach dem gesuchten Wert auf.

4.

Setze die gegebenen Werte ein und berechne.


Beispiel - Ein 7-jähriger Sparplan sieht Einzahlungen in der Höhe von CHF 3’000 Ende jeden Jahres vor. Die Verzinsung beträgt 5%. Wie hoch ist das Vermögen am Ende des Sparplans? Runde auf 5 Rappen genau.


Zinsfaktor berechnen:

q=1+5%100%=1.05q=1+\frac{5\%}{100\%}=1.05q=1+100%5%​=1.05​​


Jährige nachschüssige Rente - Endwert:

Rn=r⋅qn−1q−1R_n=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}Rn​=r⋅q−1qn−1​​​


Da die Formel bereits nach dem gesuchten Wert aufgelöst ist, direkt einsetzen:

Rn=3′000⋅1.057−11.05−1≈24′426.05‾R_n=3'000\cdot\frac{{1.05}^7-1}{1.05-1}\approx\underline{24'426.05}Rn​=3′000⋅1.05−11.057−1​≈24′426.05​​​



Beispiel - Ein Betrag von CHF 250 wird am Anfang von jedem Monat auf ein Sparkonto mit einem Zins von 3% übertragen. Wie gross ist das Kapital nach 3 Jahren?


Monatliche (unterjährigen) vorschüssige Rente - Endwert:

Rn=r⋅q⋅qn⋅m−1q−1R_n=r\cdot q\cdot\frac{q^{n\cdot m}-1}{q-1}Rn​=r⋅q⋅q−1qn⋅m−1​​​


Zinsfaktor berechnen:

q=1+3%12⋅100%=1.0025q=1+\frac{3\%}{12\cdot100\%}=1.0025q=1+12⋅100%3%​=1.0025​​


Einsetzen und ausrechnen:

Rn=250⋅1.0025⋅1.00253⋅12−11.0025−1≈9′428.65‾R_n=250\cdot1.0025\cdot\frac{{1.0025}^{3\cdot12}-1}{1.0025-1}\approx\underline{9'428.65}Rn​=250⋅1.0025⋅1.0025−11.00253⋅12−1​≈9′428.65​​​








Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Prozente: Definition, Eigenschaften & Rechnen

Teil 1

Prozente: Definition, Eigenschaften & Rechnen

Jahreszins berechnen: Definition & Formeln

Teil 2

Jahreszins berechnen: Definition & Formeln

Abkürzung

Erziele 80% um direkt zum letzten Teil zu springen.

Optional

Rentenrechnung: Definition & Formeln

Teil 3

Rentenrechnung: Definition & Formeln

Finaler Test

Test aller vorherigen Teile, um einen Belohnungsplaneten zu erhalten.

Erstelle ein kostenloses Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine Rente?

Unter einer Rente versteht man eine Folge von regelmässigen, wiederkehrenden und gleichen Einzahlungen in ein Anlagekonto

Was ist ein Barwert?

Das ist der Betrag, der anfangs auf dem Anlagekonto liegen muss, um über eine Zeitdauer eine gewünschte Rente auszahlen zu können.

Was ist ein Endwert?

Das ist der Betrag, der am Ende einer Zeitdauer auf dem Anlagekonto liegt, wenn regelmüssig eine bestimme Rente eingezahlt wurde.

©2020 - 2024 evulpo AG

Beta