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Logarithmusfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Logarithmusfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

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Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Logarithmusfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Definition

Bei der Logarithmusfunktion steht die Variable im Logarithmus.

f(x)=loga(x)f\left(x\right)={log}_a{\left(x\right)}​​

aa​: Basis.

aa​ ist eine konstante Zahl grösser Null: aR+a\in\mathbb{R}^+


Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion f1f^{-1} der Exponentialfunktion ff:

ff1axloga(x)f \rightarrow f^{-1}\\a^x \rightarrow {log}_a{\left(x\right)}​​


Basisfunktionen

Logarithmusfunktion der Form loga(x){log}_a{\left(x\right)} kann man als Basisfunktionen der Logarithmusfunktion bezeichnen.

f(x)=log2(x)f\left(x\right)={log}_2{\left(x\right)}​​
f(x)=log3(x)f\left(x\right)={log}_3{\left(x\right)}​​
f(x)=log10(x)=lg(x)f\left(x\right)={log}_{10}{\left(x\right)=lg{\left(x\right)}}​​
f(x)=ln(x)f\left(x\right)=ln\left(x\right)​​
f(x)= f\left(x\right)=\ \ldots​​


Ein Bild, das ClipArt enthält.  Automatisch generierte Beschreibung
Definitionsbereich D\mathbb{D} 

Für alle a:

Es dürfen ausschliesslich positive Zahlen grösser Null für x(x>0x (x>0) eingesetzt werden:

D=R+\mathbb{D}=\mathbb{R}^+​​


Wertebereich W\mathbb{W}

Für alle a:

Die Funktionswerte können alle Zahlen annehmen:

W=R\mathbb{W}=\mathbb{R}​​


Eigenschaften

Jede Basisfunktion:

  • verläuft durch die Punkte (1|0),(a|1)und(1a|1)\left(1\middle|0\right), \left(a\middle|1\right) und \left(\frac{1}{a}\middle|-1\right)
  • mit a>1a>1  ist streng monoton wachsend.
  • mit 0<a<10<a<1  ist streng monoton fallend.
  • hat die y-Achse als senkrechte Asymptote.

             

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Allgemeine Logarithmusfunktion

Die allgemeine Logarithmusfunktion (-formel) ist eine veränderte Form der Basisfunktion.


Formel

f(x)=bloga(xc)+df\left(x\right)=b\cdot{log}_a{(x-c)+d}​​


aa​​

Basis der Logarithmusfunktion

bb​​

Streckungs-/Stauchungsfaktor

cc​​

Verschiebung in xx-Richtung

dd​​

Verschiebung in yy-Richtung


Definitionsbereich D\mathbb{D}

Für alle a:

Der Definitionsbereich verschiebt sich mit c(x>c):c (x>c):

D=R>c\mathbb{D}=\mathbb{R}>c​​


Wertebereich W\mathbb{W}

Für alle a:

Die Funktionswerte yy​ können weiterhin alle Zahlen annehmen:

W=R\mathbb{W}=\mathbb{R}​​



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der natürliche Logarithmus?

Was ist Argument und Basis des Logarithmus?

Was ist der Logarithmus?

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