Wie löse ich eine Bruchungleichung?

Wie eine ganz normale Gleichung, allerdings wird bei einer Multiplikation/Division mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umgedreht.

Worauf muss ich bei einer Bruchungleichung achten?

Bei der Multiplikation mit dem Nenner muss eine Fallunterscheidung für einen positiven und negativen Nenner gemacht werden.

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Mathematik

Bruchungleichungen: Definition & Vorgehen

Mathe_Sek-Gymi_03GL_05_Ungleichung_03_Bruchungleichung 0

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Bruchungleichungen: Definition & Vorgehen

Definition

Bruchgleichungen sind Ungleichungen, in denen Variablen im Nenner vorkommen.

Beispiel

$\ \frac{x}{x+1}>2$

Bruchungleichungen lösen

Lineare Ungleichungen löst man wie Bruchgleichungen. Einzig:

bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl dreht man das Relationszeichen um: $\le\ \leftrightarrow\ \geq$ und $<\ \leftrightarrow\ >$ ; und
bei der Multiplikation mit den Nennern muss man eine Fallunterscheidung für positive und negative Ergebnisse des Nennerterms machen.

VORGEHEN

1.	Multipliziere mit dem Nennerterm und mach eine Fallunterscheidung:
	Fall 1: Nennerterm positiv	Fall 2: Nennerterm negativ
	Löse zwei Ungleichungen: a. Nennerterm > 0 , und b. Bestehende Ungleichung für gleichbleibendes Relationszeichen	Löse zwei Ungleichungen: a. Nennerterm < 0, und b. Bestehende Ungleichung für umgekehrten Relationszeichen
	Bestimme für jeden Fall die Werte für $x$ , welche beide Ungleichungen erfüllt.
2.	Verbinde die Lösungen der beiden Fälle und erstelle die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ .

Tipp: Verwende einen Zahlenstrahl, um die erlaubten Zahlenbereiche übersichtlich darzustellen.

Beispiel

$\frac{x}{x+1}>2\ \ \ \ \ \ \ |\cdot(x+1)$

Bruchungleichungen: Definition & Vorgehen

Definition

Bruchgleichungen sind Ungleichungen, in denen Variablen im Nenner vorkommen.

Beispiel

$\ \frac{x}{x+1}>2$

Bruchungleichungen lösen

Lineare Ungleichungen löst man wie Bruchgleichungen. Einzig:

bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl dreht man das Relationszeichen um: $\le\ \leftrightarrow\ \geq$ und $<\ \leftrightarrow\ >$ ; und
bei der Multiplikation mit den Nennern muss man eine Fallunterscheidung für positive und negative Ergebnisse des Nennerterms machen.

VORGEHEN

1.	Multipliziere mit dem Nennerterm und mach eine Fallunterscheidung:
	Fall 1: Nennerterm positiv	Fall 2: Nennerterm negativ
	Löse zwei Ungleichungen: a. Nennerterm > 0 , und b. Bestehende Ungleichung für gleichbleibendes Relationszeichen	Löse zwei Ungleichungen: a. Nennerterm < 0, und b. Bestehende Ungleichung für umgekehrten Relationszeichen
	Bestimme für jeden Fall die Werte für $x$ , welche beide Ungleichungen erfüllt.
2.	Verbinde die Lösungen der beiden Fälle und erstelle die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ .

Tipp: Verwende einen Zahlenstrahl, um die erlaubten Zahlenbereiche übersichtlich darzustellen.

Beispiel

$\frac{x}{x+1}>2\ \ \ \ \ \ \ |\cdot(x+1)$

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Lineare Ungleichungen: Definition & Vorgehen

Zur Lektion

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

FAQs

Frage: Was ist eine Bruchungleichung?

Antwort: Bruchungleichungen sind Ungleichungen, in denen Variablen im Nenner vorkommen.
Frage: Wie löse ich eine Bruchungleichung?

Antwort: Wie eine ganz normale Gleichung, allerdings wird bei einer Multiplikation/Division mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umgedreht.
Frage: Worauf muss ich bei einer Bruchungleichung achten?

Antwort: Bei der Multiplikation mit dem Nenner muss eine Fallunterscheidung für einen positiven und negativen Nenner gemacht werden.

Theorie

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Bruchungleichungen: Definition & Vorgehen

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