Umkehrung linearer Funktionen bestimmen: rechnerisch & graphisch

Definition

Tauscht man bei einer Funktion $f$ die $x-$ Werte und der $y-$ Werte, erhält man die Umkehrfunktion $f^{-1}$ der Funktion. Eine Funktion ordnet einem $x-$ Wert einen bestimmten $y-$ Wert zu. Die Umkehrfunktion führt diesen $y-$ Wert wieder zurück zum ursprünglichen $x-$ Wert. Im Koordinatensystem sind die Funktion und ihre Umkehrfunktion achsensymmetrisch zur Geraden $y=x$ .

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Hinweis: Die Umkehrfunktion kennzeichnet man typischerweise mit einem « $-1$ »: Die Umkehrfunktion von $f(x)$ notiert man als $f^{-1}(x)$ .

Umkehrfunktion einer linearen Funktion

Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion ist auch eine lineare Funktion.

Umkehrfunktion bestimmen - rechnerisch

Den Graphen der Umkehrfunktion erhält man, indem man die Variablen der Gerade tauscht und nach $y$ auflöst.

Gegeben ist die lineare Funktion $f(x)=mx+q$ .

VORGEHEN

1.

Tausche $x$ und $y$ :

$x=my+q$

2.

Löse die Funktion nach $y$ auf:

$y=\frac{x}{m}-\frac{q}{m}$

3.

Notiere den erhaltenen Term als Umkehrfunktion:

$f^{-1}(x)=\frac{x}{m}-\frac{q}{m}$

Beispiel: $f\left(x\right)=2x+2$

Vertausche $x$ und $y$ :

$x=2y+2$

Löse nach $y$ auf:

$x-2=2y\\\frac{x}{2}-1=y$

Umkehrfunktion:

$f^{-1}\left(x\right)=\frac{x}{2}-1$

Umkehrfunktion bestimmen - graphisch

Den Graphen der Umkehrfunktion erhält man, indem man den Graphen der Funktion an der Geraden $y=x$ spiegelt.

VORGEHEN

1.	Trage die Funktion in das Koordinatensystem ein. Verwende dazu die Steigung und den $y$ -Achsenabschnitt.
2.	Markiere zwei Punkte auf der Geraden und spiegle diese an der Gerade $y=x$ .
3.	Verbinde die gespiegelten Punkte. Diese Gerade ist der Graph der Umkehrfunktion.

Beispiel: $f\left(x\right)=2x+2$

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