Umkehrung linearer Funktionen bestimmen: rechnerisch & graphisch

Definition

Tauscht man bei einer Funktion $$f$$​ die $$x-$$Werte und der $$y-$$Werte, erhält man die Umkehrfunktion $$f^{-1}$$​ der Funktion. Eine Funktion ordnet einem $$x-$$Wert einen bestimmten $$y-$$Wert zu. Die Umkehrfunktion führt diesen $$y-$$Wert wieder zurück zum ursprünglichen $$x-$$Wert. Im Koordinatensystem sind die Funktion und ihre Umkehrfunktion achsensymmetrisch zur Geraden $$y=x$$.

Hinweis: Die Umkehrfunktion kennzeichnet man typischerweise mit einem «$$-1$$»: Die Umkehrfunktion von $$f(x)$$ notiert man als $$f^{-1}(x)$$.

Umkehrfunktion einer linearen Funktion

Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion ist auch eine lineare Funktion.

Umkehrfunktion bestimmen - rechnerisch

Den Graphen der Umkehrfunktion erhält man, indem man die Variablen der Gerade tauscht und nach $$y$$​ auflöst.

Gegeben ist die lineare Funktion $$f(x)=mx+q$$.

VORGEHEN

Beispiel: $$f\left(x\right)=2x+2$$​

Vertausche $$x$$ und $$y$$​: 

​$$x=2y+2$$​​

Löse nach $$y$$ auf:

​$$x-2=2y\\\frac{x}{2}-1=y$$​​

Umkehrfunktion:

​$$f^{-1}\left(x\right)=\frac{x}{2}-1$$​​

Umkehrfunktion bestimmen - graphisch

Den Graphen der Umkehrfunktion erhält man, indem man den Graphen der Funktion an der Geraden $$y=x$$ spiegelt.

VORGEHEN

Beispiel: $$f\left(x\right)=2x+2$$​​