Umkehrung linearer Funktionen bestimmen: rechnerisch & graphisch
Definition
Tauscht man bei einer Funktion f die x−Werte und der y−Werte, erhält man die Umkehrfunktion f−1 der Funktion. Eine Funktion ordnet einem x−Wert einen bestimmten y−Wert zu. Die Umkehrfunktion führt diesen y−Wert wieder zurück zum ursprünglichen x−Wert. Im Koordinatensystem sind die Funktion und ihre Umkehrfunktion achsensymmetrisch zur Geraden y=x.
Hinweis: Die Umkehrfunktion kennzeichnet man typischerweise mit einem «−1»: Die Umkehrfunktion von f(x) notiert man als f−1(x).
Umkehrfunktion einer linearen Funktion
Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion ist auch eine lineare Funktion.
Umkehrfunktion bestimmen - rechnerisch
Den Graphen der Umkehrfunktion erhält man, indem man die Variablen der Gerade tauscht und nach y auflöst.
Gegeben ist die lineare Funktion f(x)=mx+q.
VORGEHEN
1. | Tausche x und y: x=my+q
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2. | Löse die Funktion nach y auf: y=mx−mq |
3. | Notiere den erhaltenen Term als Umkehrfunktion: f−1(x)=mx−mq
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Beispiel: f(x)=2x+2
Vertausche x und y:
x=2y+2
Löse nach y auf:
x−2=2y2x−1=y
Umkehrfunktion:
f−1(x)=2x−1
Umkehrfunktion bestimmen - graphisch
Den Graphen der Umkehrfunktion erhält man, indem man den Graphen der Funktion an der Geraden y=x spiegelt.
VORGEHEN
1. | Trage die Funktion in das Koordinatensystem ein. Verwende dazu die Steigung und den y-Achsenabschnitt. |
2. | Markiere zwei Punkte auf der Geraden und spiegle diese an der Gerade y=x. |
3. | Verbinde die gespiegelten Punkte. Diese Gerade ist der Graph der Umkehrfunktion. |
Beispiel: f(x)=2x+2