Faktorisieren: Definition & Vorgehen Definition Faktorisieren bedeutet die Umwandlung eines Terms in verschiedene Faktoren, wie zum Beispiel: Multiplizierte Zahlen, Variablen oder Klammern.
Beispiel 3 ⏟ ⋅ x ⏟ ⋅ ( 3 x + 2 ) ⏟ ⋅ ( x − 1 ) ⏟ ⋅ ( 1 + x ) ⏟ ⏟ F a k t o r e n \underbrace{\underbrace{3}\cdot\underbrace{x}\cdot\underbrace{(3x+2)}\cdot\underbrace{(x-1)}\cdot\underbrace{(1+x)}}_{Faktoren} F ak t ore n 3 ⋅ x ⋅ ( 3 x + 2 ) ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( 1 + x )
Vorgehen beim Faktorisieren Prüfe hintereinander, ob man den gegebenen Term mit den folgenden Schritten faktorisieren kann:
Zahlen / Variablen ausklammern Binomische Formel anwenden Zweiklammeransatz anwenden
Ausklammern Klammere einen gemeinsamen Teiler und/oder eine gemeinsame Variable aus (falls möglich).
Beispiel 9 x 2 + 6 x 9x^2+6x 9 x 2 + 6 x
Gemeinsam: Teiler 3 3 3
und Variable x x x
→ \rightarrow → ausklammern von 3 3 3
und x x x
:
9 x 2 + 6 x = 3 x ⋅ ( 3 x + 2 ) ‾ 9x^2+6x=\underline{3x\cdot(3x+2)} 9 x 2 + 6 x = 3 x ⋅ ( 3 x + 2 )
Binomischen Formeln Voraussetzung Term in Binomischer Form gegeben:
1. BF: a 2 + 2 a b + b 2 a^2+2ab+b^2 a 2 + 2 ab + b 2 2. BF: a 2 − 2 a b + b 2 a^2-2ab+b^2 a 2 − 2 ab + b 2 3. BF: a 2 − b 2 a^2-b^2 a 2 − b 2
Vorgehen 1.
Bestimme a a a und b b b .
2.
Erstelle die entsprechende Klammerdarstellung.
Beispiel x 2 + 10 x + 25 x^2+10x+25 x 2 + 10 x + 25
Der Term ist also in der Form der 1. BF mit den Werten:
a = x a=x a = x und b = 5 b=5 b = 5
Klammerdarstellung:
x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5 ) 2 ‾ x^2+10x+25=\underline{(x+5)^2} x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5 ) 2
Zweiklammeransatz Voraussetzung Term mit drei Elementen gegeben:
x 2 + ( a + b ) x + a b x^2+(a+b)x+ab x 2 + ( a + b ) x + ab
Es gibt zwei Zahlen, die:
addiert den Wert vor dem x x x und multipliziert den Wert ohne x x x ergeben.
Tipps: Ist die Zahl ohne x x x negativ, so ist a a a oder b b b negativ
Vorgehen 1.
Bestimme a a a und b b b .
2.
Erstelle die Klammerdarstellung.
Beispiel x 2 + 6 x + 8 x^2+6x+8 x 2 + 6 x + 8
Passendes Zahlenpaar:
a = 2 b = 4 a=2\\b=4 a = 2 b = 4
Klammerdarstellung:
x 2 + 6 x + 8 = ( x + 2 ) ( x + 4 ) ‾ x^2+6x+8=\underline{(x+2)(x+4)} x 2 + 6 x + 8 = ( x + 2 ) ( x + 4 )