Einheitskreis: Definition & typische Aufgaben

Definition

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1. In ihm lässt sich der Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels beschreiben.

Ausgehend von der positiven x-Achse wird im Gegenuhrzeigersinn ein Winkel $\alpha$ abgetragen:

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Sinus und Kosinus

Anhand des Schnittpunktes P zwischen der Winkellinie und dem Einheitskreis kann man die Werte des Sinus und Kosinus ablesen.

$\sin(\alpha)=y_p$

Die y-Koordinate des Punktes P

$\cos(\alpha)=x_P$

Die x-Koordinate des Punktes P

Tangens

Anhand vom Schnittpunkt Q zwischen der Winkellinie und der Parallele zur y-Achse am Ende des Kreises (Tangenten am Kreis) kann man die Werte von Tangens ablesen.

$\tan(\alpha)=y_Q$

Die y-Koordinate des Punktes Q

Alternativ:

$\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\frac{y_P}{x_P}$

Das Verhältnis der Koordinaten des Punktes P.

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Kosinus, Sinus und Tangens bestimmen

Für einen gegebenen Winkel die Werte von Kosinus, Sinus und Tangens mit Hilfe des Einheitskreises bestimmen.

Vorgehen

1.

Zeichne den Winkel auf dem Einheitskreis ein.

2.

Lies vom Einheitskreis die einzelnen Werte von Sinus, Kosinus und Tangens ab.

Hinweis: Den Tangens kannst du auch berechnen: $\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Beispiel - Winkel $\alpha=180\degree$

Im Einheitskreis:

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Werte ablesen:

$\sin(\alpha)=0\\\cos(\alpha)=-1\\\tan(\alpha)=0$

Winkel bestimmen

Für einen gegebenen Kosinus-, Sinus- oder Tangenswert sollen die zugehörigen Winkel bestimmt werden.

Vorgehen

1.

Zeichne eine Gerade senkrecht zur jeweiligen Gerade durch den gegebenen Wert.

Hinweis: ist ein Kosinus-Wert von $0{,}5$ gegeben, so zeichne die Senkrechte zur cos-Achse durch $0{,}5$ .

2.

Bestimme die Schnittpunkte des Kreises mit dem Einheitskreis und lies die zugehörigen Winkel ab.

Beispiel: $\cos(\alpha)=0{,}5$

Zeichne Gerade durch $0{,}5$ :

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Lies die zugehörigen Winkel ab:

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Winkel:

$\underline{\alpha=60\degree}$ oder $\underline{\alpha=300\degree}$

Wichtige Eigenschaften

Verschiebungen

Wenn bestimmte Werte von Kosinus, Sinus oder Tangens schon bekannt sind, kann man mit Verschiebungen auch die Werte von anderen Winkeln bestimmen.

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Hinweis: Wegen der Relationen zu Verschiebungen gibt es jeweils mehrere mögliche Winkel, die man aus einem gegebenen Kosinus-, Sinus- oder Tangenswert erhalten kann, wie im letzten Beispiel.

Beispiel: $\cos(120\degree)=-0{,}5$ ; bestimme $\cos(60\degree)$ :

$\cos(60\degree)=\cos(180\degree-120\degree)=-\cos(120\degree)=-(-0{,}5)=\underline{0{,}5}$

Winkelfunktionen

Sinus, Kosinus und Tagens kann man auch als Winkelfunktionen interpretieren, wobei der x-Wert den Winkel als Vielfaches von $\pi$ darstellt. $\pi$ entspricht dabei $180\degree$ .

Beide Funktionen haben einen „wellen-artigen“ Verlauf.

Hinweis: Man sagt auch, dass Kosinus und Sinus periodisch sind mit der Periode $360\degree$ beziehungsweise $2\pi$ . Siehe die letzten beiden Relationen in der vorherigen Tabelle.

Sinus

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Kosinus

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Tangens

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