Goldener Schnitt: Definition & Teilungsverhältnis

Definition

Der Goldene Schnitt ist ein Teilungsverhältnis zwischen zwei Längen. Er kommt in der Geometrie und Natur häufig vor und wird viel in der Bildgestaltung verwendet.

Teilungsverhältnis

Der kleinere Teil muss sich zum größeren Teil so verhalten wie der größere Teil zur gesamten Länge der Strecke.

Verhältnisse:

$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}\approx1.618\\\frac{a}{a+b}=\approx0.618\ldots\\\frac{b}{a+b}\approx0.382\ldots$

Einteilung einer Seite:

$a=\frac{\sqrt5-1}{2}\cdot s\\b=\frac{3-\sqrt5}{2}\cdot s$

$s:$	Geteilte Seite $(a+b)$
$a:$	Längere Seite «Major»
$b:$	Kürzere Seite «Minor»

Mathematik; Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt; 3. Sek / Bez / Real; Goldener Schnitt: Definition & Teilungsverhältnis

Verbindung zur Fibonacci-Folge

Das Verhältnis zwischen zwei aufeinanderfolgenden Werten der Fibonacci-Folge nähert sich dem Teilungsverhältnis (0.618) des Goldenen Schnitts an.

Mathematik; Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt; 3. Sek / Bez / Real; Goldener Schnitt: Definition & Teilungsverhältnis

Goldener Schnitt in der Geometrie

Goldenes Dreieck

Ein Dreieck bei dem das Verhältnis eines Schenkels (d) zur dritten Seite (a) dem Goldenen Schnitt entspricht:

$\frac{a}{d}\approx0.382$

Winkel sind immer: $72°, 72°$ und $36°$

Mathematik; Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt; 3. Sek / Bez / Real; Goldener Schnitt: Definition & Teilungsverhältnis

Fünfeck – Pentagramm (Sternfigur im Fünfeck)

Mehrere Verhältnisse entsprechen dem Goldenen Schnitt:

Seitenlänge zu Diagonalen: $\frac{AB}{AD}\approx0.382$
Teilung der Diagonalen: $\frac{AF}{AD}\approx0.382, \frac{FG}{FD}\approx0.382, …$

Goldene Spirale

Zusammengesetzte Viertelkreise:

Verhältnisse der Radien entsprechen dem Goldenen Schnitt

Spirale ist häufig in der Natur anzutreffen:

Schneckenhaus
Pflanzenstruktur

Mathematik; Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt; 3. Sek / Bez / Real; Goldener Schnitt: Definition & Teilungsverhältnis