Funktionsbegriff: Definition & Darstellung
Abhängigkeiten
Definition
Eine Abhängigkeit zwischen zwei Mengen stellt Beziehungen zwischen den Werten dar. Man spricht auch von einer Zuordnung. Einem Wert x wird ein Wert oder mehrere Werte zugeordnet.
Darstellung
Abhängigkeiten können in einer Tabelle oder einem Graphen dargestellt werden.
TABELLE | Die Tabelle stellt den Zusammenhang vom Jahr und den Anzahl Neugeborenen in der Schweiz, die den Namen Laura oder David tragen, dar. JAHR | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | Laura | 288 | 291 | 271 | 277 | David | 335 | 302 | 314 | 265 | |
GRAPH | Der Graph stellt den Zusammenhang vom Jahr und den Anzahl Neugeborenen in der Schweiz, die den Namen Laura oder David tragen, dar. |
Funktionen
Defiition
Eine Funktion ist eine Zuordnung oder Vorschrift, die jedem Wert x genau einen Wert y zuordnet. Funktionen lassen sich oft durch Terme beschreiben. Man unterscheidet zwischen der Funktionsvorschrift und Funktionsgleichung.
Funktionsvorschrift | Funktionsgleichung |
x→x2+1−2x | f(x)=x2+1−2x oder y=x2+1−2x |
- x ist der Variablenwert
- f(x) oder y ist der Term- oder Funktionswert, abhängig von der Variablen x
DEFINITIONSMENGE
Die Definitionsmenge D einer Funktion besteht aus allen Werten, für die der Funktionswert berechnet werden soll. Wird keine Definitionsmenge angegeben, so sind alle Zahlen zugelassen: D=R
WERTEMENGE
Die Menge aller Funktionswerte y der Definitionsmenge bildet die Wertemenge W.
Beispiele
Funktion | Definitionsmenge | Wertebereich |
| D=R
Man kann y für alle beliebigen Werte von x berechnen. | W=R+
Die Funktion nimmt alle positiven reellen Werte an. |
y=x−21 | D=R{2} Für x=2 kann kein Funktionswert berechnet werden. (Nenner darf nicht Null sein.) | W=R{0}
Die Funktion nimmt den Wert 0 nicht an. |
FUNKTIONSGRAPH
Für jeden Wert x im Definitionsbereich wird das Wertepaar (x∣f(x)) im Koordinatensystem markiert. Alle markierten Punkte bilden den Funktionsgraphen der Funktion.
y=x2−1
Hinweis: Beim Erstellen des Funktionsgraphen berechnet man genügend Wertepaare und ergänzt den Graphen zu einer durchgezogenen Linie.
PUNKT AUF DEM GRAPHEN
Erfüllen die Koordinaten eines Punkts P(x∣y) die Funktionsgleichung, so liegt er auf dem Funktionsgraphen.
Beispiel
Der Punkt P(1∣0) liegt auf dem Funktionsgraphen von y=x2+1−2x
12+1−2⋅1=0