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Zusammenfassung

Funktionsbegriff: Definition & Darstellung

Abhängigkeiten

Definition

Eine Abhängigkeit zwischen zwei Mengen stellt Beziehungen zwischen den Werten dar. Man spricht auch von einer Zuordnung. Einem Wert xxx​ wird ein Wert oder mehrere Werte zugeordnet.


Darstellung

Abhängigkeiten können in einer Tabelle oder einem Graphen dargestellt werden.

TABELLE

Die Tabelle stellt den Zusammenhang vom Jahr und den Anzahl Neugeborenen in der Schweiz, die den Namen Laura oder David tragen, dar.

JAHR

2015

2016

2017

2018

Laura

288

291

271

277

David

335

302

314

265

 

GRAPH

Der Graph stellt den Zusammenhang vom Jahr und den Anzahl Neugeborenen in der Schweiz, die den Namen Laura oder David tragen, dar.

Mathematik; Lineare Funktionen; BMS; Funktionsbegriff: Definition & Darstellung


Funktionen

Defiition

Eine Funktion ist eine Zuordnung oder Vorschrift, die jedem Wert xxx​ genau einen Wert yyy​ zuordnet. Funktionen lassen sich oft durch Terme beschreiben. Man unterscheidet zwischen der Funktionsvorschrift und Funktionsgleichung.

Funktionsvorschrift

Funktionsgleichung

​x→x2+1−2xx\rightarrow x^2+1-2xx→x2+1−2x​​
​f(x)=x2+1−2xf\left(x\right)=x^2+1-2xf(x)=x2+1−2x​​
oder
​y=x2+1−2xy=x^2+1-2xy=x2+1−2x​​
  • xxx​ ist der Variablenwert
  • f(x)f(x) f(x)​ oder yyy​ ist der Term- oder Funktionswert, abhängig von der Variablen xxx​


DEFINITIONSMENGE

Die Definitionsmenge D\mathbb{D}D​ einer Funktion besteht aus allen Werten, für die der Funktionswert berechnet werden soll. Wird keine Definitionsmenge angegeben, so sind alle Zahlen zugelassen: D=R\mathbb{D}=\mathbb{R}D=R​


WERTEMENGE

Die Menge aller Funktionswerte yyy​ der Definitionsmenge bildet die Wertemenge W\mathbb{W}W​.


Beispiele
Funktion

Definitionsmenge

Wertebereich

​y=x2y=x^2y=x2​​

D=R\mathbb{D}=\mathbb{R}D=R​​

Man kann y für alle beliebigen Werte von x berechnen.

W=R+\mathbb{W}=\mathbb{R}^+W=R+​​

Die Funktion nimmt alle positiven reellen Werte an.

​y=1x−2y=\frac{1}{x-2}y=x−21​​​

​D=R{2}\mathbb{D}=\mathbb{R}\left\{2\right\}D=R{2}​​

Für x=2x=2x=2 kann kein Funktionswert berechnet werden. (Nenner darf nicht Null sein.)

W=R{0}\mathbb{W}=\mathbb{R}\left\{0\right\}W=R{0}​​

Die Funktion nimmt den Wert 0 nicht an.


FUNKTIONSGRAPH

Für jeden Wert xxx​ im Definitionsbereich wird das Wertepaar (x∣f(x))(x|f(x)) (x∣f(x))​  im Koordinatensystem markiert. Alle markierten Punkte bilden den Funktionsgraphen der Funktion.


​y=x2−1y=x^2-1y=x2−1​​


Mathematik; Lineare Funktionen; BMS; Funktionsbegriff: Definition & Darstellung

Hinweis: Beim Erstellen des Funktionsgraphen berechnet man genügend Wertepaare und ergänzt den Graphen zu einer durchgezogenen Linie.


PUNKT AUF DEM GRAPHEN

Erfüllen die Koordinaten eines Punkts P(x∣y)P(x|y) P(x∣y)​ die Funktionsgleichung, so liegt er auf dem Funktionsgraphen.


Beispiel

Der Punkt P(1∣0)P(1|0) P(1∣0)​ liegt auf dem Funktionsgraphen von y=x2+1−2xy=x^2+1-2xy=x2+1−2x​​

​12+1−2⋅1=01^2+1-2\cdot1=012+1−2⋅1=0​​





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