Betriebswirtschaftliche Funktionen nutzt man, um die finanzielle Lage eines Unternehmens zu modellieren. Oftmals stellt man die Kosten-, Erlös- und Gewinnentwicklung eines Unternehmens jeweils mit Hilfe einer linearen Funktion dar.

Kostenfunktion

Definitionen

Unter Kosten versteht man die finanziellen Ausgaben eines Unternehmens. In der Buchhaltung werden diese als Aufwand erfasst.

VARIABLE KOSTEN ( $m_k$ )	Die Kosten, die mit jedem hergestellten Stück neu anfallen (bspw. Materialkosten).
FIXE KOSTEN ( $q_{FK}$ )	Die Kosten, die unabhängig von der produzierten Stückzahl anfallen (bspw. Mietkosten, Abschreibungen, Versicherungen).
GESAMTKOSTEN ( $y$ )	Die Gesamtkosten sind die Summe der variablen und fixen Kosten.

Funktionsgleichung

Gesamtkosten als lineare Funktion:

$y=m_k\cdot x+q_{FK}$

$y$ : Gesamtkosten

$m_k$ : variable Kosten pro Stück (Steigung der Funktion)

$x$ : Stückzahl (bspw. produzierte Menge, Anzahl Stunden)

$m_k$ : gesamte variable Kosten

$q_{FK}$ : fixe Kosten (Startwert der Funktion auf der y-Achse)

Grafische Darstellung

Die Funktion…

startet auf der y-Achse $\left(0\middle|500\right)$ , da die Fixkosten unabhängig von der Menge $x$ anfallen.
hat die Steigung $m_p$ .

Beispiel:

Ein Unternehmen stellt ein Produkt zu variablen Kosten von CHF 2.50 und mit Fixkosten von CHF 500 her.

Kostenfunktion: $y=2.5x+500.$

Mathematik; Betriebswirtschaftliche Funktionen; BMS; Betriebswirtschaftliche Funktionen: Definition & Formeln

Gesamtkosten bei einer Menge von 400 Stück:

$y=2.5\cdot400+500=\underline{1\ 500}\$

Erlösfunktion

Definition

Als Erlös versteht man den durch Verkauf einer Sache oder für eine Dienstleistung eingenommenen Geldbetrag. Andere Begriffe für Erlös sind Umsatz oder Einnahmen. In der Buchhaltung wird der Erlös als Ertrag verbucht.

ERLÖS PRO STÜCK ( $m_p$ )	Preis, zu dem ein Stück verkauft wird (Stückpreis).
GESAMTERLÖS ( $y$ )	Gesamteinnahmen aus alle verkauften Stücken.

Funktionsgleichung

Gesamterlös als lineare Funktion:

$y=m_p\cdot x$

$y$ : Gesamterlös

$m_p$ : Erlös pro Stück/Stückpreis (Steigung der Funktion)

$x$ : Stückzahl (bspw. produzierte Menge, Anzahl Stunden)

Grafische Darstellung

Die Funktion…

startet im Ursprung $\left(0\middle|0\right)$ , da typischer ohne verkaufte Stückzahl kein Erlös erzielt wird.
hat die Steigung $m_p$ .

Beispiel:

Ein Unternehmen verkauft ein Produkt zu einem Stückpreis von CHF 3.

Erlösfunktion: $y=3x$ .

Gesamterlös bei einer Menge von 500 Stück: $y=3\cdot500=\underline{1\ 500}$

Gewinnfunktion

Definition

Der Gewinn ist die Differenz zwischen der Erlös- und der Kostenfunktion. Andere Begriffe für Gewinn sind Ertrag oder Überschuss. In der Buchhaltung wird der dieser als Erfolg erfasst.

Funktionsgleichung

Kostenfunktion als lineare Funktion:

$y=m_g\cdot x-q_{FK}$

$y$ : Gewinn

$m_g$ : Bruttogewinn pro Stück (Steigung der Funktion)

$x$ : produzierte Stückzahl

$q_{FK}$ : fixe Kosten (Startwert der $-q_{FK}$ Funktion bei auf der y-Achse)

Hinweis 1: Die Steigung $m_g$ ergibt sich auf der Differenz zwischen Erlös pro Stück (Preis) und den variablen Kosten pro Stück: $m_g=m_p-m_k$ .

Hinweis 2: Das $m_g$ nennt man Bruttogewinn pro Stück, da hier im Gegensatz zum Nettogewinn pro Stück die Fixkosten nicht miteinbezogen werden.

Grafische Darstellung

Die Funktion:

startet auf der y-Achse bei $\left(0\middle|-q_{FK}\right)$ . Der Anfangsverlust entspricht den Fixkosten.
hat die Steigung $m_g=m_p-m_k$ .

Die «Gewinnschwelle» oder «Break-even Point» ist die Stückzahl x, bei der die Funktion die x-Achse schneidet.

Beispiel:

Ein Produzent verkauft sein Produkt zu einem Stückpreis von CHF 4. Seine variablen Kosten pro Stück belaufen sich auf CHF 3 und seine Fixkosten auf CHF 400.

Gewinnfunktion:

$y=\left(4-3\right)\cdot x-400\\y=x-400$

Die Gewinnschwelle ist : $x=400$ :

Unter einer Stückzahl von 400 Stück macht die Firma einen Verlust.
Über einer Stückzahl von 400 Stück macht die Firma einen Gewinn.

Funktionsgleichung aufstellen

In vielen Aufgaben wird die Ermittlung der Kosten-, Erlös- oder Gewinnfunktion verlangt. Gegeben sind oftmals zwei Stückzahlen und deren zugehörige Gesamtkosten, Gesamterlöse oder Gewinne.

VORGEHEN

1.	Stelle zwei Punkte auf: $P_1\left(x_1\middle\| y_1\right)$ und $P_2\left(x_1\middle\| y_2\right)$ .
2.	Berechne die Steigung mit der Steigungsformel: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .
3.	Berechne $q$ (sofern die gefragte Funktion dieses abbildet), indem du die Funktion nach $q$ umstellst und eines der obigen Wertepaare einsetzt: $q=y-mx$ .
4.	Setze die Werte in die gesuchte Funktion ein: $y=mx+q$ .

Beispiel :

Ein Unternehmen hat bei einer Stückzahl von 100 Gesamtkosten in der Höhe von CHF 500. Bei einer Stückzahl von 300 hat das Unternehmen Gesamtkosten in der Höhe von $1100$ . Ermittle die Kostenfunktion.

Punkte:

$P_1\left(100\middle|500\right)$ und $P_2\left(300\middle|1100\right)$

Steigung:

$m=\frac{1100-500}{300-100}=3$

q-Wert:

$q=500-3\cdot100=200$

Kostenfunktion:

$y=3x+200$

Gewinnschwelle berechnen

Die Stückzahl, bei der ein Unternehmen einen Gewinn von erzielt, wird Gewinnschwelle oder «Break-even Point» genannt. Bei darunterliegenden Stückzahlen wird ein Verlust erzielt, bei darüberliegenden Stückzahlen ein Gewinn. Die Gewinnschwelle kann mit Hilfe von zwei Varianten berechnet werden.

Hinweis: Das Resultat wird immer auf die nächste ganze Zahl aufgerundet.

Variante 1: Nullstelle der Gewinnfunktion berechnen

VORGEHEN

1.	Setze die Gewinnfunktion gleich null: $0=x\left(p-k\right)-FK$ .
2.	Löse die Gleichung nach auf. Das Ergebnis steht für die Gewinnschwelle.

Hinweis: Graphisch ergibt sich die Lösung durch den Schnittpunkt der Gewinnfunktion mit der x-Achse.

Variante 2: Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion

VORGEHEN

1.	Setze die Erlös- und Kostenfunktion gleich
2.	Löse die Gleichung nach $x$ auf. Das Ergebnis steht für die Gewinnschwelle.

Hinweis: Graphisch ergibt sich die Lösung durch den Schnittpunkt der Erlös- und Kostenfunktion.

Beispiel:

Ein Unternehmen hat eine Kostenfunktion von $y=2x+500$ und eine Erlösfunktion von $y=4x$

Variante 1

Gewinnfunktion:

$y=4x-\left(2x+500\right)=2x-500$

Gleich null setzen:

$2x-500=0$

Nach auflösen:

$x=\frac{500}{2}=\underline{250}$

Die Gewinnschwelle liegt bei 250 Stück.

Variante 2

Erlös- und Kostenfunktion gleichsetzen:

$2x+500=4x$

Nach auflösen:

$500=2x$

$x=\frac{500}{2}=\underline{250}$

Die Gewinnschwelle liegt bei 250 Stück.

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Lernziele

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was wird mit der Kostenfunktion beschrieben?

Die finanziellen Ausgaben (auch Aufwand) eines Unternehmens.

Was wird mit der Erlösfunktion beschrieben?

Der Umsatz bzw. die Einnahmen eines Unternehmens z.B. durch den Verkauf eines Produktes.

Was ist eine Gewinnschwelle?

Das ist die Anzahl an verkauften Produkten, ab der ein Unternehmen Gewinn erzielt.

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