Betriebswirtschaftliche Funktionen: Definition & Formeln

Definition

Betriebswirtschaftliche Funktionen nutzt man, um die finanzielle Lage eines Unternehmens zu modellieren. Oftmals stellt man die Kosten-, Erlös- und Gewinnentwicklung eines Unternehmens jeweils mit Hilfe einer linearen Funktion dar.

Kostenfunktion

Definitionen

Unter Kosten versteht man die finanziellen Ausgaben eines Unternehmens. In der Buchhaltung werden diese als Aufwand erfasst.

Funktionsgleichung 

Gesamtkosten als lineare Funktion:

Grafische Darstellung

Die Funktion…

• startet auf der y-Achse $$\left(0\middle|500\right)$$​, da die Fixkosten unabhängig von der Menge $$x$$​ anfallen.
• hat die Steigung $$m_p$$​.
  

Beispiel:

Ein Unternehmen stellt ein Produkt zu variablen Kosten von CHF 2.50 und mit Fixkosten von CHF 500 her. 

Kostenfunktion: $$y=2.5x+500.$$​ 

Gesamtkosten bei einer Menge von 400 Stück: 

$$y=2.5\cdot400+500=\underline{1\ 500}\$$​​

Erlösfunktion

Definition

Als Erlös versteht man den durch Verkauf einer Sache oder für eine Dienstleistung eingenommenen Geldbetrag. Andere Begriffe für Erlös sind Umsatz oder Einnahmen. In der Buchhaltung wird der Erlös als Ertrag verbucht. 

Funktionsgleichung

Gesamterlös als lineare Funktion:

Grafische Darstellung

Die Funktion…

• startet im Ursprung $$\left(0\middle|0\right)$$​, da typischer ohne verkaufte Stückzahl kein Erlös erzielt wird.
• hat die Steigung $$m_p$$​.
  

Beispiel:

Ein Unternehmen verkauft ein Produkt zu einem Stückpreis von CHF 3.

Erlösfunktion: $$y=3x$$​.

Gesamterlös bei einer Menge von 500 Stück: $$y=3\cdot500=\underline{1\ 500}$$​

Gewinnfunktion

Definition

Der Gewinn ist die Differenz zwischen der Erlös- und der Kostenfunktion. Andere Begriffe für Gewinn sind Ertrag oder Überschuss. In der Buchhaltung wird der dieser als Erfolg erfasst. 

Funktionsgleichung 

Kostenfunktion als lineare Funktion:

Hinweis 1: Die Steigung $$m_g$$​ ergibt sich auf der Differenz zwischen Erlös pro Stück (Preis) und den variablen Kosten pro Stück: $$m_g=m_p-m_k$$.

Hinweis 2: Das $$m_g$$​ nennt man Bruttogewinn pro Stück, da hier im Gegensatz zum Nettogewinn pro Stück die Fixkosten nicht miteinbezogen werden.

Grafische Darstellung

Die Funktion:

• startet auf der y-Achse bei $$\left(0\middle|-q_{FK}\right)$$​. Der Anfangsverlust entspricht den Fixkosten.
• hat die Steigung $$m_g=m_p-m_k$$​.
  

Die «Gewinnschwelle» oder «Break-even Point» ist die Stückzahl x, bei der die Funktion die x-Achse schneidet.

Beispiel:

Ein Produzent verkauft sein Produkt zu einem Stückpreis von CHF 4. Seine variablen Kosten pro Stück belaufen sich auf CHF 3 und seine Fixkosten auf CHF 400.

Gewinnfunktion:

​$$y=\left(4-3\right)\cdot x-400\\y=x-400$$​​

Die Gewinnschwelle ist : $$x=400$$:

• Unter einer Stückzahl von 400 Stück macht die Firma einen Verlust.
• Über einer Stückzahl von 400 Stück macht die Firma einen Gewinn.

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Funktionsgleichung aufstellen

In vielen Aufgaben wird die Ermittlung der Kosten-, Erlös- oder Gewinnfunktion verlangt. Gegeben sind oftmals zwei Stückzahlen  und deren zugehörige Gesamtkosten, Gesamterlöse oder Gewinne.

VORGEHEN

Beispiel : 

Ein Unternehmen hat bei einer Stückzahl von 100 Gesamtkosten in der Höhe von CHF 500. Bei einer Stückzahl von 300 hat das Unternehmen Gesamtkosten in der Höhe von $$1100$$​. Ermittle die Kostenfunktion.

Punkte:

 $$P_1\left(100\middle|500\right)$$ und $$P_2\left(300\middle|1100\right)$$​​

Steigung:

$$m=\frac{1100-500}{300-100}=3$$​​

q-Wert: 

$$q=500-3\cdot100=200$$​​

Kostenfunktion:

$$y=3x+200$$​​

Gewinnschwelle berechnen

Die Stückzahl, bei der ein Unternehmen einen Gewinn von  erzielt, wird Gewinnschwelle oder «Break-even Point» genannt. Bei darunterliegenden Stückzahlen wird ein Verlust erzielt, bei darüberliegenden Stückzahlen ein Gewinn. Die Gewinnschwelle kann mit Hilfe von zwei Varianten berechnet werden. 

Hinweis: Das Resultat wird immer auf die nächste ganze Zahl aufgerundet. 

Variante 1: Nullstelle der Gewinnfunktion berechnen

VORGEHEN

Hinweis: Graphisch ergibt sich die Lösung durch den Schnittpunkt der Gewinnfunktion mit der x-Achse.

Variante 2: Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion

VORGEHEN

Hinweis: Graphisch ergibt sich die Lösung durch den Schnittpunkt der Erlös- und Kostenfunktion.

Beispiel: 

Ein Unternehmen hat eine Kostenfunktion von $$y=2x+500$$​ und eine Erlösfunktion von $$y=4x$$​

Variante 1

Gewinnfunktion:

$$y=4x-\left(2x+500\right)=2x-500$$​​

Gleich null setzen:

$$2x-500=0$$​​

Nach  auflösen:

$$x=\frac{500}{2}=\underline{250}$$​​

Die Gewinnschwelle liegt bei 250 Stück. 

Variante 2

Erlös- und Kostenfunktion gleichsetzen:

$$2x+500=4x$$​​

Nach  auflösen:

$$500=2x$$​​

$$x=\frac{500}{2}=\underline{250}$$​​

Die Gewinnschwelle liegt bei 250 Stück.

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