Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Definition

Bei der Exponentialfunktion steht die Variable $$x$$​  im Exponenten.

Die Exponentialfunktion wird häufig verwendet, um einen Wachstum- oder Zerfallsprozess zu beschreiben.

$$f(x)=a^x$$

$$a$$​: Basis, wird auch Wachstumsfaktor genannt. $$a$$​ ist eine konstante Zahl grösser als Null:  $$a\in\mathbb{R}^+$$​

Basisfunktionen

Exponentialfunktionen der Form  kann man als Basisfunktionen der Exponentialfunktion bezeichnen.

​

Definitionsbereich $$\mathbb{D}$$​

Wertebereich $$\mathbb{W}$$​

Eigenschaften

Jede Basisfunktion:

• verläuft durch die Punkte $$(0|1)$$​ , $$(1|a)$$​  und $$\left(-1|\frac1a\right)$$.
• mit $$a>1$$ ist streng monoton wachsend – genannt „Wachstumsfunktion“.
  
• mit $$0<a<1$$​   ist streng monoton fallend – genannt „Zerfallsfunktion“.
  

Darstellung

$$a>1$$​: Wachstumsfunktion	$$0<a<1$$​: Zerfallsfunktion
Wertetabelle für $$f(x)=2^x$$​ ​$$x$$​​ ​$$-3$$​​ ​$$-2$$​​ ​$$-1$$​​ ​$$0$$​​ ​$$1$$​​ ​$$2$$​​ ​$$3$$​​ ​$$y$$​​ ​$$\frac18$$​​ ​$$\frac14$$​​ ​$$\frac12$$​​ ​$$1$$​​ ​$$2$$​​ ​$$4$$​​ ​$$8$$​​	Wertetabelle für $$f(x)=\left(\frac12\right)^2$$​ ​$$x$$​​ ​$$-3$$​​ ​$$-2$$​​ ​$$-1$$​​ ​$$0$$​​ ​$$1$$​​ ​$$2$$​​ ​$$3$$​​ ​$$y$$​​ ​$$8$$​​ ​$$4$$​​ ​$$2$$​​ ​$$1$$​​ ​$$\frac12$$​​ ​$$\frac14$$​​ ​$$\frac18$$​​

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Allgemeine Exponentialfunktion

Die Formel der allgemeinen Exponentialfunktion ist eine veränderte Form der Basisfunktionen.

Formel

Definitionsbereich $$\mathbb{D}$$​

Wertebereich $$\mathbb{W}$$​

Streckungs-/Stauchungsfaktor

$$|b|>1$$​: Streckung in y-Richtung	$$0<|b|<1$$​: Stauchung in y-Richtung	​$$b$$ negativ - Spiegelung an $$x$$-Achse​

Verschiebung in x- und y-Achsenrichtung

​$$d<0$$: in negative $$y$$-Richtung​	​$$d>0$$: positive $$y$$-Richtung​