Home

Mathematik

Potenzfunktionen

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Lektion auswählen

Erklärvideo

Loading...
Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Definition

Bei der Exponentialfunktion steht die Variable xx  im Exponenten.

Die Exponentialfunktion wird häufig verwendet, um einen Wachstum- oder Zerfallsprozess zu beschreiben.

f(x)=axf(x)=a^x


aa​: Basis, wird auch Wachstumsfaktor genannt. aa ist eine konstante Zahl grösser als Null:  aR+a\in\mathbb{R}^+



Basisfunktionen

Exponentialfunktionen der Form  kann man als Basisfunktionen der Exponentialfunktion bezeichnen.

f(x)=2xf(x)=2^x​​

f(x)=3xf(x)=3^x​​

f(x)=(12)xf(x)=\left(\frac12\right)^x​​

f(x)=(13)xf(x)=\left(\frac13\right)^x​​

f(x)=...f(x)=...​​


Definitionsbereich D\mathbb{D}

Für alle aa :

Es dürfen alle Zahlen für 𝑥 eingesetzt werden: 

D=R\mathbb{D}=\mathbb{R}​​


Wertebereich W\mathbb{W}

Für alle aa :

Die Funktionswerte yy sind immer positiv und ungleich null (y>0y>0 ):

W=R+\mathbb{W}=\mathbb{R}^+​​


Eigenschaften

Jede Basisfunktion:

  • verläuft durch die Punkte (01)(0|1) , (1a)(1|a)  und (11a)\left(-1|\frac1a\right).
  • mit a>1a>1 ist streng monoton wachsend – genannt „Wachstumsfunktion“.
  • mit 0<a<10<a<1​   ist streng monoton fallend – genannt „Zerfallsfunktion“.


Darstellung

a>1a>1​: Wachstumsfunktion

0<a<10<a<1​: Zerfallsfunktion

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Wertetabelle für f(x)=2xf(x)=2^x

xx​​

3-3​​

2-2​​

1-1​​

00​​

11​​

22​​

33​​

yy​​

18\frac18​​

14\frac14​​

12\frac12​​

11​​

22​​

44​​

88​​

Wertetabelle für f(x)=(12)2f(x)=\left(\frac12\right)^2

xx​​

3-3​​

2-2​​

1-1​​

00​​

11​​

22​​

33​​

yy​​

88​​

44​​

22​​

11​​

12\frac12​​

14\frac14​​

18\frac18​​



Allgemeine Exponentialfunktion

Die Formel der allgemeinen Exponentialfunktion ist eine veränderte Form der Basisfunktionen.


Formel

f(x)=baxc+df(x)=ba^{x-c}+d​​

aa​​

Basis / Wachstumsfaktor der Exponentialfunktion

bb​​

Streckungs-/Stauchungsfaktor

cc​​

Verschiebung in xx-Richtung

dd​​

Verschiebung in yy-Richtung


Definitionsbereich D\mathbb{D}

Für alle aa:

Es dürfen weiterhin alle Zahlen für xx​ eingesetzt werden:

D=R\mathbb{D}=\mathbb{R}​​


Wertebereich W\mathbb{W}

Für alle aa:

Der Wertebereich verschiebt sich mit dd(y>d)(y>d)

W=R>d\mathbb{W}=\mathbb{R}_{>d}​​

Der Wertebereich wird gespiegelt mit negativen dd(y<d)(y<d)​​

W=R<d\mathbb{W}=\mathbb{R}_{<d}​​


Streckungs-/Stauchungsfaktor

b>1|b|>1​: Streckung in y-Richtung
0<b<10<|b|<1​: Stauchung in y-Richtung
bb negativ - Spiegelung an xx-Achse​


Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung


Verschiebung in x- und y-Achsenrichtung

c<0c<0: in negative xx-Richtung​
c>0c>0: in positive xx-Richtung​

d<0d<0: in negative yy-Richtung​
d>0d>0: positive yy-Richtung​
Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung
Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung


Erstelle ein Konto, um die Zusammenfassung zu lesen.

Übungen

Erstelle ein Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist a bei der Exponentialfunktion?

Wann handelt es sich um eine Wachstumsfunktion, wann um eine Zerfallsfunktion?

Was ist eine Exponentialfunktion einfach erklärt?

Beta

Ich bin Vulpy, Dein AI-Lernbuddy! Lass uns zusammen lernen.