Platonische Körper: Definition & Eigenschaften

Definition

Körper deren Netz aus regelmässigen Vielecken besteht.

Eigenschaften

Allgemein

• Alle Kanten sind gleich lang
• Alle Ecken haben den gleichen Abstand zum Mittelpunkt
• Alle Aussen Flächen sind gleiche regelmässige Vielecke

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Die fünf Platonischen Körper

Tetraeder

NETZ

• 4 Seitenflächen; als
• Gleichseitige Dreiecke; mit
• Innenwinkel 60°

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Hexaeder (Würfel)

NETZ

• 6 Seitenflächen; als
• Quadrate; mit
• Innenwinkel 90°

Oktaeder

Tipp: Volumen von zwei Pyramiden

NETZ

• 8 Seitenflächen; als
• Gleichseitige Dreiecke; mit
• Innenwinkel 60°

Dodekaeder

NETZ

• 12 Seitenflächen; als
• Regelmässige Fünfecke; mit
• Innenwinkel 108°

Ikosaeder

NETZ

• 20 Seitenflächen; als
• Gleichseitige Dreiecke; mit
• Innenwinkel 60°

Dual-Körper

Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenflächen, so entsteht ein zweiter Körper. Dies ist der Dualkörper.

Platonische Körper mit Dual-Körper

Beispiele

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Umkugelvolumen

• Eine Umkugel ist eine Kugel, welche den Körper genau umschliesst.
• Eigenschaft der Umkugel:
  • Körpermittelpunkt und Kugelmittelpunkt sind gleich.
  • Jeweilige Abstand vom Körpermittelpunkt zu jedem Eckpunkt entspricht dem Radius der Kugel.

Vorgehen

Tipp Zum Hexaeder

• Berechne die Körperdiagonale $$d$$​.
• Der Radius ist $$r=\frac{d}{2}$$​
• Diagonale: $$d=\sqrt3a$$​ (Satz des Pythagoras)

Tipp Zum Oktaeder

• Berechne die Diagonale $$d$$​ der mittleren Vierecksfläche.
• Der Radius ist $$r=\frac{d}{2}$$​
• Diagonale: $$d=\sqrt2a$$​ (Satz des Pythagoras)

Anzahl Körperkanten berechnen

Wie viele Körperkanten hat ein platonischer Körper?

VORGEhEN

Beispiel am Dodekaeder

Seitenflächen: 12

Kanten pro Seitenfläche: 5

Kanten: 

$$\frac{12\cdot5}{2}=\underline{30\ Kanten}$$​​

Anzahl Ecken berechnen

Wie viele Ecken hat ein platonischer Körper?

VORGEHEN

Beispiel am Dodekaeder

Seitenflächen: 12

Kanten pro Seitenfläche: 5

Seitenflächen pro Ecke: 3

Ecken: 

$$\frac{12\cdot5}{3}=\underline{20\ Ecken}$$​​