Mengenlehre: Darstellung, Eigenschaften & Venn-Diagramm

Mengen und Elemente

Eine Menge umfasst mehrere Elemente. Ein Element kann zum Beispiel eine Zahl sein.

Die Menge umfasst die Elemente mit Mengenklammern. Entweder werden die Elemente einzeln notiert oder deren Eigenschaften werden beschrieben.

Als Aufzählung	$A={2,3,4,5,6}$
Als Beschreibung	$A={x\in\mathbb{N}\ \|x\ ist\ grösser \ als\ 1\ und\ kleiner\ als\ 7}$

GLEICHHEIT ZWEIER MENGEN

$A=B$ 

Zwei Mengen $A$ und $B$ sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Man schreibt: $A=B$

ZUGEHÖRIGKEIT

$a\in A$ 

Ist ein Element $a$ in der Menge $A$ enthalten, schreibt man: $a\in A.$ . Gehört $a$ nicht zu $A$ , so gilt: $\ a\notin A$

Endliche Mengen	Sie hat endlich viele Elemente.
Unendliche Mengen	Sie hat unendlich viele Elemente.
Leere Menge ${ \ }$ { }	Die leere Menge enthält keine Elemente.
Grundmenge	Die Menge aller betrachteten Objekte.

$A\subset B$	Menge $A$ ist vollständig in der Menge $B$ enthalten. $A$ ist Teilmenge von $B$ und $B$ ist Obermenge von $A$ . Jedes Element von $A$ gehört zu $B$ .
	$A$ ist keine Teilmenge von $B$ , wenn mindestens ein Element von $A$ nicht in $B$ ist

$B$ Hinweis 1: Haben $A$ und $B$ keine Elemente gemeinsam, so nennt man sie elementfremd.

Hinweis 2: Die leere Menge ist Teilmenge jeder beliebigen Menge.

Schnittmenge von $A$ und $B$	$A\cap B$ { ${x\ \|\ x\in A\ und\ x\in B}$ }	Enthält alle Elemente, die zu $A$ und $B$ gehören.
Vereinigungsmenge von $A$ und $B$	$A\cup B$ { ${x\ \|\ x\in A\ oder\ x\in B}$ }	Enthält alle Elemente, die zu $A$ oder $B$ (oder beiden) gehören.
Differenzmenge von $A$ und $B$	$A/B$ { ${x\ \|\ x\in A\ und\ x\notin B}$ }	Enthält alle Elemente von $A$ , die nicht zu $B$ gehören.
Komplement von $A$ (Komplementärmenge)	$A©$ { ${x\ \|\ x\in G\ und\ x\notin A}$ }	Enthält alle Elemente der Grundmenge $G$ , die nicht zu $A$ gehören.

Venn-Diagramme skizzieren die Zusammenhänge zwischen verschiedenen Mengen.

ZWEI MENGEN		Beispiel: $A\cap B$
DREI MENGEN		Beispiel: $A\cap B\cap C$