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Mengenlehre: Darstellung, Eigenschaften & Venn-Diagramm

Mengenlehre: Darstellung, Eigenschaften & Venn-Diagramm

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Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Mengenlehre: Darstellung, Eigenschaften & Venn-Diagramm

Mengen und Elemente

Definition

Eine Menge umfasst mehrere Elemente. Ein Element kann zum Beispiel eine Zahl sein.



Darstellung

Die Menge umfasst die Elemente mit Mengenklammern. Entweder werden die Elemente einzeln notiert oder deren Eigenschaften werden beschrieben.


Beispiel

Als Aufzählung

A=2,3,4,5,6A={2,3,4,5,6}​​

Als Beschreibung

A=xN x ist gro¨sser als 1 und kleiner als 7A={x\in\mathbb{N}\ |x\ ist\ grösser \ als\ 1\ und\ kleiner\ als\ 7}​​



Eigenschaften

GLEICHHEIT ZWEIER MENGEN

A=BA=B​​

Zwei Mengen AA und BB sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Man schreibt: A=BA=B

ZUGEHÖRIGKEIT

aAa\in A​​

Ist ein Element aa in der Menge AA enthalten, schreibt man: aA. a\in A. . Gehört aa nicht zu AA, so gilt:  aA\ a\notin A



Wichtige Begriffe

Endliche Mengen

Sie hat endlich viele Elemente. 

Unendliche Mengen

Sie hat unendlich viele Elemente.

Leere Menge  { \ }{ }

Die leere Menge enthält keine Elemente.

Grundmenge

Die Menge aller betrachteten Objekte.



T​eilmengen

ABA\subset B​​

Menge AA ist vollständig in der Menge BB enthalten. AAist Teilmenge von BB und BB ist Obermenge von AA. Jedes Element von AA gehört zu BB.

​​​
Mathematik; Grundlagen; BMS; Mengenlehre: Darstellung, Eigenschaften & Venn-Diagramm

AA​ ist keine Teilmenge von BB​, wenn mindestens ein Element von AA​ nicht in BB ist


BBHinweis 1: Haben AA​ und BB​ keine Elemente gemeinsam, so nennt man sie elementfremd. 


Hinweis 2: Die leere Menge ist Teilmenge jeder beliebigen Menge.



Mengenoperationen

Schnittmenge von AA und BB

ABA\cap B​​
{​x  xA und xB{x\ |\ x\in A\ und\ x\in B}​​}

Enthält alle Elemente, die zu AA​ und BB​ gehören.

Vereinigungsmenge von AA und BB

ABA\cup B
{​x  xA oder xB{x\ |\ x\in A\ oder\ x\in B}​​}

Enthält alle Elemente, die zu AA​ oder BB (oder beiden) gehören.

Differenzmenge von AA​ und BB

A/BA/B​​
{​x  xA und xB{x\ |\ x\in A\ und\ x\notin B}​​}

Enthält alle Elemente von AA, die nicht zu BB gehören.

Komplement von AA​ (Komplementärmenge) 

A©​​
{​x  xG und xA{x\ |\ x\in G\ und\ x\notin A}​​}

Enthält alle Elemente der Grundmenge GG, die nicht zu AA gehören.



Venn-Diagramm

Definition

Venn-Diagramme skizzieren die Zusammenhänge zwischen verschiedenen Mengen.

ZWEI MENGEN

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Beispiel: ABA\cap B
Mathematik; Grundlagen; BMS; Mengenlehre: Darstellung, Eigenschaften & Venn-Diagramm

DREI MENGEN

Mathematik; Grundlagen; BMS; Mengenlehre: Darstellung, Eigenschaften & Venn-Diagramm
Beispiel: ABCA\cap B\cap C
Mathematik; Grundlagen; BMS; Mengenlehre: Darstellung, Eigenschaften & Venn-Diagramm




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine endliche Menge?

Was ist eine unendliche Menge?

Was ist eine leere Menge?

Was ist eine Grundmenge?

Was ist eine Teilmenge?

Was ist eine Schnittmenge?

Was ist eine Vereinungsmenge?

Was ist eine Differenzmenge?

Was ist eine Komplementärmenge?

Was ist ein Venn-Diagramm?

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