Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

Definition

Die Scheitelpunktformel ist eine Darstellungsform, mit der man direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmen kann.

$f(x)={a\left(x-u\right)}^2+v$

$a$ : Streckungs-/Stauchungsfaktor

$u$ : Verschiebung in x-Achsenrichtung

$v$ : Verschiebung in y-Achsenrichtung

Die Parameter u und v sind die Koordinaten des Scheitelpunktes: $S\left(u\middle| v\right)$

Begriffe

SCHEITELPUNKT

Der höchsten bzw. tiefste Punkt der Parabel.

NORMALPARABEL

Parabel für $a=1$ :

$f(x)=x^2$

Eigenschaften

Man kann die Parameter a, u und v als graphische Veränderung der Normalparabel interpretieren.

Streckfaktor $a$

$a>0$	$a<0$	$\left\|a\right\|>1$	$\left\|a\right\|<1$
Die Parabel ist nach oben geöffnet.	Die Parabel ist nach unten geöffnet.	Streckungsfaktor in y-Richtung	Stauchungsfaktor in y-Richtung

Verschiebungen $u$ und $v$

Mathematik; Die quadratische Funktion; BMS; Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

Mathematik; Die quadratische Funktion; BMS; Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

$u>0$	$u<0$
Die Parabel wird nach rechts verschoben.	Die Parabel wird nach links verschoben.

$v>0$	$v<0$
Die Parabel wird nach oben verschoben.	Die Parabel wird nach unten verschoben.

Tipp: Beachte hier, dass in der Scheitelpunktformel vor dem $u$ ein Minus steht. Wenn also in der Klammer $(x+1)^2$ steht, dann ist $u=-1$ 

Umwandeln Normalformel in Scheitelpunktformel

Durch die Verwendung der quadratischen Ergänzung:

VORGEHEN

1.	Klammere den Vorfaktor von $x^2$ aus für $x^2$ und $x$ . $f\left(x\right)=a\ \left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c$
2.	Quadratische Ergänzung: Ergänze den Term in der Klammer von $x^2$ und $x$ zu einer binomischen Formel. Ziehe die Ergänzung dahinter ab. $x^2+\frac{b}{a}x+\underbrace{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}_{Erg\ddot{a}nzt}-\underbrace{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}_{abgezogen}$
3.	Bilde die Klammerform der binomischen Formel.
4.	Löse die Klammer aus Schritt 1 auf.

Beispiel

$f\left(x\right)=2x^2-4x+6$

Ausklammern:

$f(x)=2(x^2-2x)+6$

Quadratische Ergänzung:

$f(x)=2(x^2-2x+\underbrace{1-1}_!)+6$

Binomische Formel:

$f(x)=2({(x-1)}^2-1)+6$

Äussere Klammer auflösen:

$\underline{f(x)={2(x-1)}^2+4}$

Umwandeln Scheitelpunktformel in Normalformel

VORGEHEN

1.	Rechne die Klammer aus
2.	Ordne die Terme.

Beispiel

$f(x)={2(x-3)}^2+7$

Ausrechnen:

$f(x)=2\left(x^2-6x+9\right)+7\\f(x)=2x^2-12x+18+7\\\underline{f(x)=2x^2-12x+25}$

Quadratische Funktion bestimmen mit Punkt und Scheitelpunkt

Gegeben ist ein Punkt auf der Funktion und der Scheitelpunkt. Das Ziel ist, den Parameter $a$ der Scheitelpunktformel zu bestimmen.

VORGEHEN

1.

Setze den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktformel für $u$ und $v$ ein:

$f(x)={a\left(x-u\right)}^2+v$

2.

Setze den Punkt $P(x|y)$ in die Funktion ein:

$y={a\left(x-u\right)}^2+v$

3.

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

Beispiel

Gegeben:

$S(1|4), P(0|-2)$

Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelpunktformel ein:

$f(x)={a\left(x-1\right)}^2+4$

Setze den Punkt P ein:

$-2={a\left(0-1\right)}^2+4$

$-2=a+4$

Löse nach a auf:

$a=-6$

Lösungen:

$a=-6, u=1\ und\ v=4$

Normalformel:

$\underline{f(x)={-6\left(x-1\right)}^2+4}$