Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

Definition

Die Scheitelpunktformel ist eine Darstellungsform, mit der man direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmen kann.

$$f(x)={a\left(x-u\right)}^2+v$$​​

$$a$$​: Streckungs-/Stauchungsfaktor

$$u$$​: Verschiebung in x-Achsenrichtung

$$v$$​: Verschiebung in y-Achsenrichtung

Die Parameter u und v sind die Koordinaten des Scheitelpunktes: $$S\left(u\middle| v\right)$$​

Begriffe

Eigenschaften

Man kann die Parameter a, u und v als graphische Veränderung der Normalparabel interpretieren.

Streckfaktor $$a$$​

​$$a>0$$​​	​$$a<0$$​​	​$$\left|a\right|>1$$​​	​$$\left|a\right|<1$$​​
Die Parabel ist nach oben geöffnet.	Die Parabel ist nach unten geöffnet.	Streckungsfaktor in y-Richtung	Stauchungsfaktor in y-Richtung

Verschiebungen $$u$$​ und $$v$$​

Tipp: Beachte hier, dass in der Scheitelpunktformel vor dem $$u$$ ein Minus steht. Wenn also in der Klammer $$(x+1)^2$$ steht, dann ist $$u=-1$$​

Umwandeln Normalformel in Scheitelpunktformel

Durch die Verwendung der quadratischen Ergänzung:

VORGEHEN

Beispiel 

$$f\left(x\right)=2x^2-4x+6$$​​

Ausklammern:

$$f(x)=2(x^2-2x)+6$$​​

Quadratische Ergänzung:

$$f(x)=2(x^2-2x+\underbrace{1-1}_!)+6$$​​

Binomische Formel:

$$f(x)=2({(x-1)}^2-1)+6$$​​

Äussere Klammer auflösen:

$$\underline{f(x)={2(x-1)}^2+4}$$​​

Umwandeln Scheitelpunktformel in Normalformel

VORGEHEN

Beispiel 

$$f(x)={2(x-3)}^2+7$$​​

Ausrechnen:

$$f(x)=2\left(x^2-6x+9\right)+7\\f(x)=2x^2-12x+18+7\\\underline{f(x)=2x^2-12x+25}$$​​

Quadratische Funktion bestimmen mit Punkt und Scheitelpunkt

Gegeben ist ein Punkt auf der Funktion und der Scheitelpunkt. Das Ziel ist, den Parameter $$a$$​ der Scheitelpunktformel zu bestimmen.

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben: 

$$S(1|4), P(0|-2)$$​​

Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelpunktformel ein:

$$f(x)={a\left(x-1\right)}^2+4$$​​

Setze den Punkt P ein:

$$-2={a\left(0-1\right)}^2+4$$​​

$$-2=a+4$$​​

Löse nach a auf:

$$a=-6$$​​

Lösungen: 

$$a=-6, u=1\ und\ v=4$$​​

Normalformel: 

$$\underline{f(x)={-6\left(x-1\right)}^2+4}$$​​