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Quadratische Funktion

Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

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Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

Definition

Die Scheitelpunktformel ist eine Darstellungsform, mit der man direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmen kann.

f(x)=a(xu)2+vf(x)={a\left(x-u\right)}^2+v​​

aa​: Streckungs-/Stauchungsfaktor

uu​: Verschiebung in x-Achsenrichtung

vv​: Verschiebung in y-Achsenrichtung


Die Parameter u und v sind die Koordinaten des Scheitelpunktes: S(u|v)S\left(u\middle| v\right)


Begriffe

SCHEITELPUNKT

Der höchsten bzw. tiefste Punkt der Parabel.

NORMALPARABEL

Parabel für a=1a=1:

f(x)=x2f(x)=x^2​​



Eigenschaften

Man kann die Parameter a, u und v als graphische Veränderung der Normalparabel interpretieren.


Streckfaktor aa

a>0a>0​​
a<0a<0​​
a>1\left|a\right|>1​​
a<1\left|a\right|<1​​

Die Parabel ist nach oben geöffnet.

Die Parabel ist nach unten geöffnet.

Streckungsfaktor in y-Richtung

Stauchungsfaktor in y-Richtung

Mathematik; Die quadratische Funktion; BMS; Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen
Mathematik; Die quadratische Funktion; BMS; Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen
Mathematik; Die quadratische Funktion; BMS; Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen
Mathematik; Die quadratische Funktion; BMS; Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen



Verschiebungen uu und vv



u>0u>0​​
u<0u<0​​
Die Parabel wird nach rechts verschoben.
Die Parabel wird nach links verschoben.
v>0v>0​​
v<0v<0​​
Die Parabel wird nach oben verschoben.
Die Parabel wird nach unten verschoben.


Tipp: Beachte hier, dass in der Scheitelpunktformel vor dem uu ein Minus steht. Wenn also in der Klammer (x+1)2(x+1)^2 steht, dann ist u=1u=-1



Umwandeln Normalformel in Scheitelpunktformel

Durch die Verwendung der quadratischen Ergänzung:


VORGEHEN

1.

Klammere den Vorfaktor von x2x^2 aus für x2x^2 und xx.

f(x)=a (x2+bax)+cf\left(x\right)=a\ \left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c​​

2.

Quadratische Ergänzung:

Ergänze den Term in der Klammer von x2x^2 und xx zu einer binomischen Formel. Ziehe die Ergänzung dahinter ab.

x2+bax+(b2a)2Erga¨nzt(b2a)2abgezogenx^2+\frac{b}{a}x+\underbrace{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}_{Erg\ddot{a}nzt}-\underbrace{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}_{abgezogen}​​

3.

Bilde die Klammerform der binomischen Formel.

4.

Löse die Klammer aus Schritt 1 auf.


Beispiel 

f(x)=2x24x+6f\left(x\right)=2x^2-4x+6​​


Ausklammern:

f(x)=2(x22x)+6f(x)=2(x^2-2x)+6​​


Quadratische Ergänzung:

f(x)=2(x22x+11!)+6f(x)=2(x^2-2x+\underbrace{1-1}_!)+6​​


Binomische Formel:

f(x)=2((x1)21)+6f(x)=2({(x-1)}^2-1)+6​​


Äussere Klammer auflösen:

f(x)=2(x1)2+4\underline{f(x)={2(x-1)}^2+4}​​



Umwandeln Scheitelpunktformel in Normalformel

VORGEHEN

1.

Rechne die Klammer aus

2.

Ordne die Terme.


Beispiel 

f(x)=2(x3)2+7f(x)={2(x-3)}^2+7​​

Ausrechnen:

f(x)=2(x26x+9)+7f(x)=2x212x+18+7f(x)=2x212x+25f(x)=2\left(x^2-6x+9\right)+7\\f(x)=2x^2-12x+18+7\\\underline{f(x)=2x^2-12x+25}​​



Quadratische Funktion bestimmen mit Punkt und Scheitelpunkt

Gegeben ist ein Punkt auf der Funktion und der Scheitelpunkt. Das Ziel ist, den Parameter aa der Scheitelpunktformel zu bestimmen.


VORGEHEN

1.

Setze den Scheitelpunkt  in die Scheitelpunktformel für uu und vv ein: 

f(x)=a(xu)2+vf(x)={a\left(x-u\right)}^2+v​​

2.

Setze den Punkt P(xy)P(x|y) in die Funktion ein:

y=a(xu)2+vy={a\left(x-u\right)}^2+v​​

3.

Löse die Gleichung nach aa auf.


Beispiel

Gegeben: 

S(14),P(02)S(1|4), P(0|-2)​​


Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelpunktformel ein:

f(x)=a(x1)2+4f(x)={a\left(x-1\right)}^2+4​​


Setze den Punkt P ein:

2=a(01)2+4-2={a\left(0-1\right)}^2+4​​

2=a+4-2=a+4​​


Löse nach a auf:

a=6a=-6​​

Lösungen: 

a=6,u=1 und v=4a=-6, u=1\ und\ v=4​​


Normalformel: 

f(x)=6(x1)2+4\underline{f(x)={-6\left(x-1\right)}^2+4}​​






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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Mit welcher Methode kann ich die Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform umwandeln?

Wie lautet die Funktionsgleichung der Normalparabel?

Welche Vorteile hat es, eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform anzugeben?

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