Prozente: Definition, Eigenschaften & Rechnen

Prozentangaben

Definition

Prozentangaben stehen für den Anteil einer Zahl.

Prozentangaben besitzen ein Prozentzeichen " $\%$ " hinter der Zahl.

Eigenschaften

Ein Prozent steht für den Hundertstel einer Zahl.
Die gesamte Zahl steht für $100\%$ .
Ein Prozentsatz unter $100\%$ steht für eine Zahl kleiner als das Gesamte.
Ein Prozentsatz über $100\%$ steht für eine Zahl grösser als das Gesamte.

Beispiele

kleinerer Anteil: $50\%$ von $80\,CHF$ sind $40\,CHF$

grösserer Anteil: $150\%$ von $80\,CHF$ sind $120\,CHF$

Wichtige Begriffe

Wichtige Begriffe	Definition	Beispiel
Grundwert	Der Grundwert ist das Ganze, auf das sich eine Prozentangabe bezieht.	$50\%$ von $80\,CHF$ sind $40\,CHF$ . $80\,CHF$ ist der Grundwert.
Prozentsatz	Der Prozentsatz ist die Prozentangabe von einem Ganzen, die ausgerechnet werden soll.	$50\%$ von $80\,CHF$ sind $40\,CHF$ . $50\%$ i st der Prozentsatz.
Prozentwert	Der Prozentwert ist das Ergebnis aus dem Produkt der beiden Faktoren Prozentsatz und Grundwert.	$50\%$ von $80\,CHF$ sind $40\,CHF$ . $40\,CHF$ ist der Prozentwert.

Prozentsatz\cdot Grundwert=Prozentwert

Grundwert berechnen

Vorgehen

1.	Stelle die obige Formel so um, dass der Grundwert berechnet werden kann: $Grundwert=Prozentwert\div Prozentsatz$
2.	Teile den Prozentwert durch den Prozentsatz. Achte dabei auf die Schreibweise des Prozentsatzes als Dezimalzahl.

Beispiel

$40\%$ einer Gruppe sind 20 Teilnehmer. Wie gross ist die gesamte Gruppe?

$40\div 20\%=40\div 0{,}2=\underline{200}$

Umrechnung Bruch in Prozent

Vorgehen

1.	Teile die Zahl im Zähler durch die Zahl im Nenner.
2.	Multipliziere das Ergebnis mit $100\%$ .

Beispiel

$\frac34$ in Prozent:

$3\div 4= 0{,}75\\0{,}75\cdot 100\%=\underline{75\%}$

Umrechnung Prozent in Bruch

Vorgehen

1.	Schreibe die Zahl in den Zähler eines Bruchs. Notiere die Zahl $100$ im Nenner.
2.	Vereinfache den Bruch so weit wie möglich (Kürzen).

Beispiel

$55\%$ als Bruch:

$\frac{55}{100}\\ \text{gekürzt}: \frac{11}{20}$

Berechnung von Prozentanteilen

Rechnen ohne Dreisatz

Vorgehen bei Prozent zu Wert

1.	Teile das Ganze durch $100$ .
2.	Multipliziere mit der gewünschten Prozentzahl.

Beispiel

Berechne $25\%$ von $80\,kg$ :

$80\,kg\div 100 =0{,}8\, kg\\0{,}8\,kg \cdot 25 = \underline{20\,kg}$

Vorgehen bei Wert zu Prozent

1.	Teile den Wert des Anteils durch das Ganze.
2.	Multipliziere das Ergebnis mit $100\%$ .

Beispiel

Prozent: $25\,kg$ von $80\,kg$ :

$25\,kg\div 80\,kg =0{,}3125\\0{,}3125\cdot 100\%=\underline{31{,}25\%}$

Rechnen mit dem Dreisatz

Beim Rechnen mit Prozenten gilt die direkte (gleiche) Proportionalität.

Man kann deshalb den Dreisatz verwenden. Nutze den Dreisatz bei komplexen Aufgaben!

Vorgehen - Dreisatz als Tabelle mit Zwischenschritt

1.

Erstelle eine Dreisatztabelle:

linke Spalte: Wert
rechte Spalte: Prozent

2.

Fülle die Tabelle mit den gegebenen Werten:

Startwert
Zielwert

Notiere bei der Prozentzahl für das Ganze $100\%$ .

3.

Berechne den Zielwert / die Zielprozent:

Multipliziere und dividiere beide Spalten immer gleich.

Tipp: Nutze einen Zwischenschritt: Gehe zuerst auf $1\%$ oder bringe den Wert auf $1$ .

Dreisatztabelle

Mathematik; Grössen und Prozente; 1. Sek / Bez / Real; Prozente: Definition, Eigenschaften & Rechnen

Beispiel

Berechne $70\%$  von $240\,cm$ :

Das Ganze beträgt hier $240\,cm\,\,(100\%)$ .

Vom Zielwert sind die Prozente gegeben $(70\%)$ .

Dreisatztabelle:

Mathematik; Grössen und Prozente; 1. Sek / Bez / Real; Prozente: Definition, Eigenschaften & Rechnen

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Doppelter Prozentanteil

Soll man einen Prozentanteil von einem Prozentanteil berechnen, so kann man zwei aufeinander aufbauende Dreisätze verwenden.

Vorgehen

1.

Berechne den Zielwert des ersten Prozentanteils mit einem Dreisatz.

2.

Berechne den Zielwert des zweiten Prozentanteils mit einem Dreisatz.

Das Ergebnis des ersten Dreisatzes ist $100\%$ im zweiten Dreisatz.

Beispiel

Ein Preis von $200$ CHF wird zuerst um $20\%$ erhöht und dann um $30\%$ reduziert. Wie hoch ist der Preis danach?

Erster Dreisatz: $20\,\%$ * Erhöhung auf* $120 \, \%$	Zweiter Dreisatz: $30\,\%$ * Verringerung auf* $70\,\%$

Promille

Definition

Promilleangaben stehen für den Anteil einer Zahl.

Ein Promille steht für ein Tausendstel einer Zahl, also ein Zehntel Prozent.

Promilleangaben besitzen ein Promillezeichen „ $‰$ “ hinter der Zahl.

Beispiel

$2\,‰=\frac{2}{1000}$