Velocidad media e instantánea

Velocidad y movimiento

La velocidad $$v$$​ es una magnitud vectorial que se define como el espacio $$s$$​ recorrido en una unidad de tiempo $$t$$​. En el SI se mide en $$\rm m/s$$​.

​$$v=\cfrac{s}{t}$$​​

Velocidad media

Es el cociente entre el espacio recorrido $$\Delta s$$​ y el tiempo que se ha empleado $$\Delta t$$​.

​$$v_m=\cfrac{\text{espacio recorrido}}{\text{tiempo empleado}}=\cfrac{s_f-s_0}{t_f-t_0}=\cfrac{\Delta s}{\Delta t}$$​​

El vector velocidad media $$\overrightarrow{v_m}$$​ en una dimensión se calcula:

​$$\overrightarrow{v}_{m,x}=\cfrac{\Delta \overrightarrow{x}}{\Delta t}=\cfrac{(x_f-x_0)\overrightarrow{i}}{t_f-t_0}$$​​

Aunque puede omitirse su carácter vectorial.

​$$v_{m,x}=\cfrac{x_f-x_0}{t_f-t_0}$$​​

El sentido del vector que se mueve en una dimensión es su signo (positivo o negativo) y su módulo es:

 $$\vert \overrightarrow v_{m,x}\vert=v_m=\cfrac{\Delta s}{\Delta t}$$​​

Velocidad instantánea

Es la velocidad puntual en un instante concreto de su recorrido. Puede aproximarse mediante la siguiente fórmula, cuanto menor sea el intervalo del tiempo $$\Delta t$$ más preciso será el cálculo.

​$$v_i =v(t)=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\cfrac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$$​​

Ésta expresión es la derivada del vector posición $$\overrightarrow{r}$$​ con respecto al tiempo:

​$$\overrightarrow{v}=\cfrac{d\overrightarrow{r}}{d t}$$​​

Se puede obtener el vector posición a partir de la expresión anterior:

​$$\overrightarrow{r}(t)=\int \overrightarrow{v}dt+cte$$​​

​

Ejemplo

Un coche se desplaza en línea recta siguiendo la ecuación $$\it x(t)=5+2t^2$$ en metros. ¿Cuál es su velocidad en $$\it t=2\space s$$?

$$v(t)=\cfrac{dx(t)}{dt}=\cfrac{d(5+2t^2)}{dt}=4t$$​​

Por lo tanto, la velocidad en $$t=2\space \rm s$$ se calcula como:

 $$v(2)=4\cdot(2)={8\space \rm m/s}$$.

Solución:

$$\underline{\text{Su velocidad en } t=2\ \text{s es }v(2) =8\space \rm m/s}$$​​