Aceleración: Media, instantánea, normal y tangencial

Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad de un móvil a lo largo del tiempo. Su unidad es $m/s^2$ . Es una magnitud vectorial.

Aceleración media

Es el cociente entre el incremento de la velocidad $\Delta \overrightarrow{v}$ y el tiempo transcurrido $\Delta t$ .

$\overrightarrow {a_m}=\cfrac{\Delta \overrightarrow v}{\Delta t}=\cfrac{\overrightarrow {v_f}-\overrightarrow{v_0}}{t_f-t_0}$

$\overrightarrow{a_m}>0 \Longrightarrow \overrightarrow{v} \text{ crece}$
$\overrightarrow{a_m}<0 \Longrightarrow \overrightarrow{v} \text{ decrece}$

Ejemplo

La velocidad inicial de un coche es $\it\overrightarrow{v_0}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}\ \ m/s$  y su velocidad tras cinco segundos es $\it\overrightarrow{v_f}=5\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}\ \space m/s$ . Calcula su aceleración media en este intervalo.

$\overrightarrow{a_m}=\cfrac{[(5-2)\overrightarrow{i}+(5-3)\overrightarrow{j}]\space m/s}{5\space s}={0,6\overrightarrow{i}+0,4\overrightarrow{j}\ m/s^2}$

Solución:

$\underline{\text{La aceleración será }0,6\overrightarrow{i}+0,4\overrightarrow{j}\ m/s^2}$

Aceleración instantánea

Valor puntual de la aceleración en un momento determinado.

$\overrightarrow a_i=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\cfrac{\Delta \overrightarrow v}{\Delta t}=\cfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}$

En un movimiento rectilíneo la aceleración es tangente a la trayectoria. El vector de la velocidad instantánea se calcula:

$\overrightarrow{v}(t)=\int \overrightarrow{a}dt+\rm cte$

Ejemplo

Las coordenadas del lanzamiento de un móvil vienen dadas por las expresiones:

$x=10t \\y=4t-5t^2$

Calcula el vector velocidad y el vector aceleración en $\it t=2\space s$ .

$\overrightarrow{v(t)}=\cfrac{d\overrightarrow r(t)}{dt}=10\overrightarrow i +(4-2\cdot 5t)\overrightarrow j\\ \overrightarrow{v(2)}={10\overrightarrow i -6\overrightarrow j\space\rm m/s}$

$\overrightarrow{a(t)}=\cfrac{d\overrightarrow v(t)}{dt}={-10 \ \overrightarrow j\space m/s^2} \\ \overrightarrow{a(2)}= {-10 \ \overrightarrow j\space \rm m/s^2}$

Solución:

$\underline{\text{El vector velocidad en } t=2\ \text{s} \text{ es } \overrightarrow{v(2)}= 10\overrightarrow i -6\overrightarrow j\space \text{m/s}, \text{ y el vector aceleración es } \overrightarrow{a(2)}={-10 \ \overrightarrow j\space \rm m/s^2}}$

Aceleración tangencial

Cuando varía el valor de la velocidad, pero no su dirección, su valor es tangente a la trayectoria y se calcula:

$\overrightarrow {a_t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\cfrac{\Delta \overrightarrow v}{\Delta t}=\cfrac{d\overrightarrow v}{dt}$

Aceleración normal

Cuando un móvil realiza un trazado circular, mantiene su velocidad, pero cambia su dirección. El módulo de la aceleración normal o centrípeta $a_n$ depende del radio $R$ :

$a_n=\cfrac{v^2}{R}$

Aceleración en un movimiento curvilíneo

Cuando un móvil sufre ambas aceleraciones, la aceleración total se calcula mediante el módulo de un vector, ya que forman un ángulo recto.

$a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}$

Donde $a_t$ es la aceleración tangencial y $a_n$ la normal