Ley de Gauss: Flujo de carga y campo eléctrico

Ley de Gauss

Flujo de carga

• Un cuerpo, no puntual, que esté cargado tiene lo que se conoce como una distribución lineal, superficial o cúbica de carga $$Q$$.
• En ocasiones, estás distribuciones de carga pueden generar un campo eléctrico. 

Flujo de campo eléctrico

• En electromagnetismo el campo eléctrico a veces se formula en términos del flujo de campo eléctrico que permite describir cuántas líneas del campo eléctrico ($$E$$) atraviesan una superficie imaginaria ($$S$$) llamada superficie gaussiana. 
• El flujo de campo eléctrico se describe como $$\Phi_e$$ y sus unidades son $$\text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-1}$$​ o $$\text{V$\cdot$m}$$​​

​$$\Phi_e= \displaystyle\iint_S \left(\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\right)dS$$

Recuerda que:  si el campo eléctrico es uniforme en todos los puntos de la superficie, $$E$$ sale de la integral y el cálculo se vuelve más sencillo.

Ley de Gauss

La ley de Gauss establece una relación sencilla entre la densidad de carga y el flujo de campo eléctrico generado. 

El flujo de campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga $$Q$$ contenida dentro de la superficie imaginaria dividida por la permitividad del vacío $$\varepsilon_0 = 8,85\times10^{-12}\text{ C}^2\cdot\text{N}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}$$

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$$\Phi_e = \cfrac{Q_\text{encerrada}}{\varepsilon_0}$$

Aplicación de la ley de Gauss

La ley de Gauss permite calcular el campo eléctrico producido por una distribución de cargas igualando las dos fórmulas del flujo eléctrico. La expresión general de la ley de Gauss es la siguiente:

​$$\Phi_e = \displaystyle\iint_S \overrightarrow{E}d\overrightarrow{S} = \cfrac{Q_\text{encerrada}}{\varepsilon_0}$$​​

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Ejemplo Calcula el campo eléctrico generado por una esfera de radio R con una carga Q. Dibuja una superficie imaginaria que contenga la carga Q. Como es una esfera el campo eléctrico será uniforme en todos los puntos de la superficie y el vector normal a la superficie será paralelo al campo eléctrico, por lo que el ángulo entre los dos vectores es $$\theta=90\degree$$.

​ El flujo de campo eléctrico es constante en todos los puntos de la superficie imaginaria y entonces saldrá de la integral, lo cual va a facilitar su cálculo: ​$$\begin{aligned}\Phi_e &= \displaystyle\iint_S \left(\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\right)dS\\ &= \displaystyle\iint_S \left(E\underbrace{\cos{\theta}}_1\right)dS\\&= ES\end{aligned}$$ ​Ahora puedes igualar el resultado que has obtenido a la ley de Gauss:  ​$$E\cdot S = \cfrac{Q_\text{encerrado}}{\varepsilon_0}$$ ​​ La carga encerrada dentro de la superficie imaginaria es $$Q$$ y la superficie de la esfera es $$S = 4\pi R^2$$. Ahora ya puedes obtener una expresión para el campo eléctrico generado por la carga esférica: ​$$\boxed{E = \cfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}}$$​

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