Ley de Gauss: Flujo de carga y campo eléctrico

Ley de Gauss

Flujo de carga

Un cuerpo, no puntual, que esté cargado tiene lo que se conoce como una distribución lineal, superficial o cúbica de carga $Q$ .
En ocasiones, estás distribuciones de carga pueden generar un campo eléctrico.

Flujo de campo eléctrico

En electromagnetismo el campo eléctrico a veces se formula en términos del flujo de campo eléctrico que permite describir cuántas líneas del campo eléctrico ( $E$ ) atraviesan una superficie imaginaria ( $S$ ) llamada superficie gaussiana.
El flujo de campo eléctrico se describe como $\Phi_e$ y sus unidades son $\text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-1}$ o $\text{V$\cdot$m}$

$\Phi_e= \displaystyle\iint_S \left(\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\right)dS$

Recuerda que: si el campo eléctrico es uniforme en todos los puntos de la superficie, $E$ sale de la integral y el cálculo se vuelve más sencillo.

Ejemplo

Calcula el flujo eléctrico de la superficie circular que se muestra en la imagen

Física y Química; Campo eléctrico; 2. Bachillerato; Ley de Gauss: Flujo de carga y campo eléctrico

Primero de todo, eligen un vector normal a la superficie $\overrightarrow{n}$ . Este vector es perpendicular a la superficie. El vector normal y el campo eléctrico forman un ángulo $\theta$ entre ellos como puedes observar en la imagen, por lo tanto el producto escalar es:

 $\left(\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\right) = E \cos{\theta}$

El área de la superficie es el área de un círculo: $S = \pi R^2$ . Si sustituyes todo esto en la fórmula del flujo de campo eléctrico, obtienes que:

$\boxed{\phi_e = ER^2 \pi \cos{\theta}}$

Ley de Gauss

La ley de Gauss establece una relación sencilla entre la densidad de carga y el flujo de campo eléctrico generado.

El flujo de campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga $Q$ contenida dentro de la superficie imaginaria dividida por la permitividad del vacío $\varepsilon_0 = 8,85\times10^{-12}\text{ C}^2\cdot\text{N}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}$

$\Phi_e = \cfrac{Q_\text{encerrada}}{\varepsilon_0}$

Aplicación de la ley de Gauss

La ley de Gauss permite calcular el campo eléctrico producido por una distribución de cargas igualando las dos fórmulas del flujo eléctrico. La expresión general de la ley de Gauss es la siguiente:

$\Phi_e = \displaystyle\iint_S \overrightarrow{E}d\overrightarrow{S} = \cfrac{Q_\text{encerrada}}{\varepsilon_0}$

Ejemplo

Calcula el campo eléctrico generado por una esfera de radio R con una carga Q.

Dibuja una superficie imaginaria que contenga la carga Q. Como es una esfera el campo eléctrico será uniforme en todos los puntos de la superficie y el vector normal a la superficie será paralelo al campo eléctrico, por lo que el ángulo entre los dos vectores es $\theta=90\degree$ .

Física y Química; Campo eléctrico; 2. Bachillerato; Ley de Gauss: Flujo de carga y campo eléctrico

El flujo de campo eléctrico es constante en todos los puntos de la superficie imaginaria y entonces saldrá de la integral, lo cual va a facilitar su cálculo:

$\begin{aligned}\Phi_e &= \displaystyle\iint_S \left(\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\right)dS\\ &= \displaystyle\iint_S \left(E\underbrace{\cos{\theta}}_1\right)dS\\&= ES\end{aligned}$

Ahora puedes igualar el resultado que has obtenido a la ley de Gauss:

E\cdot S = \cfrac{Q_\text{encerrado}}{\varepsilon_0}

La carga encerrada dentro de la superficie imaginaria es $Q$ y la superficie de la esfera es $S = 4\pi R^2$ . Ahora ya puedes obtener una expresión para el campo eléctrico generado por la carga esférica:

$\boxed{E = \cfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}}$