Energía cinética y potencial de un oscilador armónico

Energía cinética de un oscilador armónico

La energía cinética de un oscilador armónico se puede expresar en función del tiempo o de su posición, en ambos casos se obtienen las fórmulas a partir de sustituir la velocidad en la fórmula de la energía cinética.

En función deL tiempo	En función de la posición
$v=\omega Acos(\omega t+\phi_0)$	$v=\pm \omega \sqrt{A^2-x^2)}$
$E_c=\cfrac{1}{2}m\omega^2A^2cos^2(\omega t+\phi_0)$	$E_c=\cfrac{1}{2}m \omega^2(A^2-x^2)$

Ejemplo

Determina la energía cinética en la posición $x=0,05\ \rm m$ de un oscilador armónico simple de masa $m=7\ \rm kg$ si su período de oscilación dura $4\ \rm s$ y la amplitud es de $0,20\ \rm m$ .

Datos	Planteamiento
$x=0,05\ \rm m$	Calculamos $\omega$ a partir del período:
$m=7\ \rm kg$	$T=\cfrac{2\pi}{\omega}\implies w=\cfrac{2\pi}{4}=0,5\pi \ rad/s$
$T=4\ \rm s$	Se calcula la energía cinética a partir de su posición
$A=0,20\ \rm m$	$E_c=\cfrac{1}{2}\cdot7\cdot (0,5\pi)^2\cdot(0,20^2-0,05^2)=0,324\ \rm J$

Solución:

$\underline{\text{La energía cinética en el punto pedido es de 0,324\ J}}$

Energía potencial de un oscilador armónico

Nuevamente, se puede expresar la energía potencial de, por ejemplo, un muelle, en función del tiempo y de su posición.

En función deL tiempo	En función de la posición
$k=m\omega^2$	$\rm x=Asen(\omega t+\phi_0)$
$E_p=\cfrac{1}{2}kx^2=\cfrac{1}{2}m\omega^2x^2$	$E_p=\cfrac{1}{2}m\omega^2A^2sen^2(\omega t +\phi_0)$

Energía mecánica de un oscilador armónico

La energía mecánica se define como la suma de la potencial y la cinética:

$E_m=E_c+E_p=\cfrac{1}{2}m \omega^2(A^2-x^2)+\cfrac{1}{2}m\omega^2x^2=\cfrac{1}{2}m\omega^2A^2=cte$

La transferencia de energía

Cuando una onda armónica se propaga, transmite una energía proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda y al cuadrado de la frecuencia.

$E=\cfrac 1 2 \ KA^2 =\cfrac 1 2\ m\omega^2A^2=2m\pi^2\nu^2A^2$