Suma relativista de velocidades

​​Fallo en las transformaciones de Galileo

Imagina un cohete con un foco de luz que viaja por el espacio a una velocidad  $$v_{cohete}=0,1c$$  respecto de la Tierra.

Según Galileo, un observador en la Tierra vería el rayo de luz a:

  $$v_{rayo}=v_{cohete }+c=1,1c$$ 

​Recuerda que: $$c$$​ es la velocidad de la luz $$\it (3\cdot10^8\ m/s)$$

​

Conclusión

Las transformaciones de Galileo incumplen la invarianza de la velocidad de la luz. Por lo tanto, existen dos posibilidades: ¿O se equivoca Einstein o Galileo?

Suma relativista de velocidades

Acudiendo a la derivación de las transformaciones de Lorentz, se demuestra que Einstein tenía razón.

Teniendo en cuenta que la velocidad medida por un observador en el sistema  $$S´$$ será:

$$v´_x=\cfrac{dx´}{dt´} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v´_y=\cfrac{dy´}{dt´} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v´_z=\cfrac{dz´}{dt´}$$​​ 

Mientras que para un sistema $$S:$$

​$$v_x=\cfrac{dx}{dt} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_y=\cfrac{dy}{dt} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_z=\cfrac{dz}{dt}$$​​

​

Diferenciando $$x´ , y ',z'$$ y $$t´$$ y juntando ambas expresiones, se llega a la suma relativista de velocidades:​

​$$v_x=\cfrac{v_x´+v}{1+\cfrac{vv_x´}{c^2}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_y=k\cfrac{v_y'}{1+\cfrac{vv_x´}{c^2}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_z=k\cfrac{v_z'}{1+\cfrac{vv_x´}{c^2}}$$ 

Deduciendo que el máximo de esta función respecto de $$\bf v_x', \ v_y', \ v'_z$$ y $$\bf v$$ es $$\bf c$$ .

Recuerda que: las transformaciones de Lorentz para dos sistemas en movimiento relativo de velocidad  $$v$$​  son: 

 $$x´=\gamma (x-vt) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t´=\gamma(t-\cfrac{vx}{c^2}) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1-\cfrac{v}{c}}}$$    

Conclusión

Como un rayo de luz que sale desde $$S´$$​, se mide con la misma velocidad desde $$S,$$ se cumplen los principios de la relatividad.​