Campo de fuerzas conservativo: Energía y potencial gravitatorio 

​​Campo gravitatorio como ejemplo de campo de fuerzas conservativo

Si el trabajo que hacen las fuerzas, moviendo una partícula de un punto a otro sólo depende de los puntos de inicio y fin, se dice que el campo de fuerzas es conservativo.

El trabajo ​que hacen las para llevar un cuerpo desde un punto $$A$$ hasta otro $$B$$ $$\left(W_{A\to B}\right)$$​ es la variación de energía potencial $$E_p$$​ entre esos puntos, con signo contrario.

$$W_{A\to B}=\displaystyle\int_{A}^{B}\overrightarrow F\cdot d\overrightarrow r=-\Delta E_p=E_p(A)-E_p(B)$$

Así, por ser el campo gravitatorio central, es conservativo.

Energía potencial gravitatoria

El trabajo que hace un campo gravitatorio para mover la masa $$m$$​ desde el infinito hasta $$r_A$$, cambiado de signo, es igual a la ​energía potencial gravitatoria que tendría un cuerpo $$m´$$ dentro de un campo gravitatorio creado por una masa $$m$$ a una distancia $$r_A$$​​

​$$W_{\infty \to A}=-\Delta E_p=-\displaystyle\int_{\infty}^{A}\overrightarrow F\cdot d\overrightarrow r=Gmm´\left (\cfrac{1}{\infty}-\cfrac{1}{r_{A}}\right)=-G\cfrac{mm´}{r_{A}}\\ \quad\\E_p=-G\cfrac{mm´}{r_{A}}$$​​

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Potencial gravitatorio 

Los campos de fuerzas conservativos se caracterizan por:

• La intensidad de campo
• El potencial, que es una magnitud escalar definida en cada punto.
  

El potencial gravitatorio $$V$$ es la energía potencial por unidad de masa en un punto.

​$$V=\cfrac{E_p}{m´}=-G\cfrac{m}{r}$$

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Aquellos puntos del campo gravitatorio en los que el potencial gravitatorio es el mismo, forman una superficie equipotencial.

Energía potencial y potencial gravitatorio terrestre

La energía potencial gravitatoria terrestre de un cuerpo de masa $$m$$ a una distancia $$r$$ del centro de la Tierra es:

$$E_p=\cfrac{-GmM_t}{r}=\cfrac{-GmM_T}{R_T+h}$$​​

Para puntos muy próximos a la superficie terrestre $$(h\lt\lt R_T)$$, se puede tomar la siguiente expresión

$$E_p=mg_0h$$​​

Ejemplo

Una masa de $$\it 8\ kg$$ está situada en el origen; calcula el potencial gravitatorio en el punto $$\it A(2,1)$$

Solución:

$$\underline{\text{El potencial gravitatorio en el punto A es }-2,39\cdot 10^{-10}\ \rm J/kg}$$​​