Contracción de Lorentz-FitzGerald de la longitud

Contracción de la longitud

Es importante comenzar entendiendo el concepto de longitud propia. La longitud propia de un objeto es la que mide un observador en reposo.

Foxy astronauta ve la nave moverse muy rápidamente ((1) a la velocidad de la luz) y por eso la ve más corta de lo que es.

La nave ve al foxy astronauta moverse muy rápidamente ((1) a la velocidad de la luz) y por eso le ve más delgado de lo que es

En el sistema $S$ de referencia, tendremos que la longitud propia se escribe como $L=x_2-x_1$ (la resta de los extremos). Si ahora buscamos la longitud $L'$ en el sistema de referencia $S'$ , habrá que determinar las posiciones de los extremos usando la transformación inversa de Lorentz.

$\begin{Bmatrix}x_1 = \gamma(x'_1 + vt')\\x_2 = \gamma(x'_2 + vt')\end{Bmatrix}$

Entonces, si con esas expresiones calculamos $L$ , tenemos:

$\underline{L} = \gamma (x'_2-x_1') = \underline{\gamma L'}$

Alternativamente:

$L'=\cfrac{1}{\gamma}L$

Sabiendo que

$\gamma = \cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\cfrac{v}{c}\right)^2}}>1$

Tendremos que $L'<L$ , de modo que la longitud de un objeto vista desde su sistema propio es mayor que la longitud del mismo objeto vista desde un sistema de referencia en movimiento con respecto a ese objeto. Esto se conoce como la contracción de Lorentz-FitzGerald.

Ejemplo

Una nave espacial se acerca a la Tierra. Desde Tierra, vemos que la nave mide $\it{500 \ \rm m}$ . Sin embargo, cuando bajan los tripulantes nos dicen que la nave en realidad mide $\it 600 \ \rm m$ . Vamos a calcular la velocidad a la que se tiene que mover la nave para que ambas afirmaciones sean ciertas.

Planteamiento:

Primero, hacemos uso de la expresión de la contracción de longitudes, de la que despejaremos el factor

\gamma

:

L' = \cfrac{L}{\gamma} \Rightarrow \gamma = \cfrac{L}{L'}

Además, sabemos que

γ

se puede expresar también de la siguiente manera:

\gamma = \cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\cfrac{v}{c}\right)^2}}

Igualando ambas expresiones y operando:

\cfrac{L}{L'}= \cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\cfrac{v}{c}\right)^2}} \Rightarrow v = c\cdot \sqrt{1-\left(\cfrac{L'}{L}\right)^2}

Solución

$\underline{\text{La velocidad a la que tiene que ir la nave es } v = 1,66\cdot 10^8 \ \rm m}$