Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Un MRUA es aquel cuya trayectoria es una recta ($a_n=0$​) y el módulo de la velocidad cambia a un ritmo constante ($a_t=\text{cte}\ne0$​).

La aceleración media $a_m$ es igual a la aceleración instantánea $a$​:

​$a_m=a=\cfrac{\Delta v}{\Delta t}=\cfrac{v-v_0}{t-t_0}$​​

A partir de la expresión de la aceleración, integrando se obtiene la velocidad $\overrightarrow{v}$​:

​$\overrightarrow{a}=\cfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}\implies \displaystyle\int_{\overrightarrow{v_0}}^{\overrightarrow{v}}d\overrightarrow{v}=\int_t^{t_0}\overrightarrow a\cdot dt\implies \overrightarrow v -\overrightarrow{v_0}=\overrightarrow a (t-t_0)$​​

​$\text{Para} \ t_0=0\implies \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{a}t$​​

La ecuación de la posición es:

​$x=x_0+v_0\cdot t+\cfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$​​

​

​Una expresión independiente del tiempo es:

​$v^2-v_0^2=2a\Delta s$​​

Ejemplo

Una cebra pasa corriendo a $\it 10\ m/s$​ por delante de un león inmóvil. En cuanto se cruzan, el león la persigue con una aceleración de $\it 3\ m/s^2$. ¿Cuándo y dónde alcanza el león a la cebra?

La posición de la cebra está definida por un MRU:

​$x=x_0+10t$​​

La posición del león está definida por un MRUA:

​$x=x_0+0t+\cfrac{1}{2}\cdot 3t^2$​​

Como ambos parten desde el mismo punto, $x_0=0$. Para averiguar dónde y cuándo se cruzan hay que resolver un sistema de ecuaciones de dos incógnitas:

$\begin{aligned}x&=10t\\x&=\cfrac{1}{2}\cdot3t^2\end{aligned}\Biggm\rbrace$​​

A la hora de despejar el tiempo observarás que hay dos soluciones:

$t=\cfrac{10\pm10}{3}\implies t_1=0\ \ y \ \ \underline{t_2=6,\widehat6}$​​

Esto es porque técnicamente el león y la cebra ya se habían cruzado una vez, cuando la cebra pasa por delante de él. El segundo tiempo es cuando el león la alcanza tras perseguirla.

Se sustituye $t_2$ en cualquiera de las ecuaciones:

$x=10\cdot6,\widehat6=66,\widehat6=\underline{66,67\ m}$​​

$\underline{\text{El león atrapa a la cebra a }66,67\ \text{m} \text{ en } 6,\widehat6 \ \rm s}$.