Índice de refracción: Velocidad de la luz en un medio Índice de refracción El índice de refracción del medio es una magnitud que sirve para relacionar la velocidad de la luz en dicho medio con su valor en el vacío.
n = c v n = \cfrac{c}{v} n = v c
Recuerda que: La velocidad de la luz en el vacío es c = 3 ⋅ 1 0 8 m / s c = 3\cdot 10^8 \ \rm m/s c = 3 ⋅ 1 0 8 m/s
Podemos definir también un índice de refracción de un medio A con respecto a un medio B de la siguiente forma:
n A , B = v B v A = c n B c n A = n A n B n_{A,B} = \cfrac{v_B}{v_A}=\cfrac{\cfrac{c}{n_B}}{\cfrac{c}{n_A}}=\cfrac{n_A}{n_B} n A , B = v A v B = n A c n B c = n B n A
Principio de Fermat La luz se propaga siguiendo un movimiento rectilíneo y uniforme dentro de un medio homogéneo e isótropo .
"La trayectoria que siga la luz al propagarse entre dos puntos será siempre aquella en cuyo recorrido emplee el menor tiempo posible."
Recuerda que: Se denomina rayo a la línea imaginaria que indica la dirección de propagación de la luz.
Ejemplo En la figura vemos dos trayectorias distintas .
La primera, ABC , representa la trayectoria real que seguiría la luz al cambiar del medio (1 1 1 2 2 2
La segunda, AC , es sencillamente la línea recta que une los puntos A y C.
Vamos a calcular y comparar los tiempos que tardaría la luz en recorrer las respectivas distancias.
Para calcular el tiempo empleado, primero debemos conocer la distancia recorrida. Para ello:
procedimiento Ejemplo Calcula el ángulo ABC ^ \widehat{\text{ABC}} ABC
ABC ^ = 4 5 ∘ + 9 0 ∘ + 2 8 ∘ = 16 3 ∘ \widehat{\text{ABC}}=45^{\circ} + 90^{\circ} + 28^{\circ} = 163^{\circ} ABC = 4 5 ∘ + 9 0 ∘ + 2 8 ∘ = 16 3 ∘
Calcula los ángulos γ \gamma γ
Recuerda que: Los ángulos internos de un triángulo suman 18 0 ∘ 180^{\circ} 18 0 ∘
18 0 ∘ = 16 3 ∘ + Suma γ = S u m a 2 = 8 , 5 ∘ 180^{\circ} = 163^{\circ} + \text{Suma} \\\gamma = \cfrac{\rm Suma}{2}=8,5^{\circ} 18 0 ∘ = 16 3 ∘ + Suma γ = 2 Suma = 8 , 5 ∘
Aplicando el teorema del coseno obtén la distancia A C ‾ \overline{AC} A C
A C ‾ 2 = A B ‾ 2 + B C ‾ 2 − 2 ⋅ A B ‾ ⋅ B C ‾ ⋅ cos ( 16 3 ∘ ) ⇒ A C ‾ = 1 , 98 m \overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 - 2 \cdot \overline{AB}\cdot \overline{BC}\cdot \cos{\left(163^{\circ}\right)} \Rightarrow \overline{AC}= 1,98 \ \rm m A C 2 = A B 2 + BC 2 − 2 ⋅ A B ⋅ BC ⋅ cos ( 16 3 ∘ ) ⇒ A C = 1 , 98 m
En el triángulo A B D ^ \widehat{ABD} A B D δ \delta δ
γ + 4 5 ∘ + δ = 18 0 ∘ δ = 126 , 5 ∘ \gamma + 45^{\circ} + \delta = 180^{\circ} \\ \delta=126,5^{\circ} γ + 4 5 ∘ + δ = 18 0 ∘ δ = 126 , 5 ∘
Aplicando el teorema del seno obtén la distancia A D ‾ \overline{AD} A D
A D ‾ sen 4 5 ∘ = A B ‾ sen δ ⇒ A D ‾ = 0 , 88 m \cfrac{\overline{AD}}{\text{sen}{45^{\circ}}} = \cfrac{\overline{AB}}{\text{sen}{\delta}}\Rightarrow \overline{AD}=0,88 \ \rm m sen 4 5 ∘ A D = sen δ A B ⇒ A D = 0 , 88 m
Del dibujo se puede ver que A C ‾ = A D ‾ + D C ‾ \overline{AC} = \overline{AD} + \overline{DC} A C = A D + D C D C ‾ \overline{DC} D C
D C ‾ = A C ‾ − A D ‾ = 1 , 10 m \overline{DC} = \overline{AC} - \overline{AD} = 1,10 \ \rm m D C = A C − A D = 1 , 10 m
Calcula el tiempo a través de v = d t v = \cfrac{d}{t} v = t d v v v d d d t t t
t r e c o r r i d o A B C = t A B + t B C = A B ‾ n a i r e c + B C ‾ n a c e i t e c = 2 , 46 c s t_{\rm recorrido \ ABC} = t_{AB} + t_{BC} = \cfrac{\overline{AB} n_{\rm aire}}{c} + \cfrac{\overline{BC}n_{\rm aceite}}{c} = \cfrac{2,46}{c} \ \rm s t recorrido ABC = t A B + t BC = c A B n aire + c BC n aceite = c 2 , 46 s
t r e c o r r i d o A D C = t A D + t D C = A D ‾ n a i r e c + D C ‾ n a c e i t e c = 2 , 49 c s t_{\rm recorrido \ ADC} = t_{AD} + t_{DC} = \cfrac{\overline{AD} n_{\rm aire}}{c} + \cfrac{\overline{DC}n_{\rm aceite}}{c} = \cfrac{2,49}{c}\ \rm s t recorrido ADC = t A D + t D C = c A D n aire + c D C n aceite = c 2 , 49 s
Solución:
La luz tarda m a ˊ s tiempo en recorrer el camino ADC que el ABC. ‾ \underline{\text{La luz tarda más tiempo en recorrer el camino ADC que el ABC.}} La luz tarda m a ˊ s tiempo en recorrer el camino ADC que el ABC.
